Zadan je niz od pet članova. Prvi član toga niza i... | Matura Matematika A razina 2026.

NIZOVI I LIMES4 boda

Aritmetički i geometrijski nizovi

Zadan je niz od pet članova. Prvi član toga niza iznosi 9, drugi je član triput veći od četvrtoga, a peti je od trećega veći za jedan. Prva tri člana toga niza uzastopni su članovi aritmetičkoga niza, a posljednja tri uzastopni su članovi konvergentnoga geometrijskog niza. Koliko iznosi treći član toga niza?

Točan odgovor

- 1.8

Postupak rješavanja

Iz uvjeta zadatka postavljamo sustav za članove a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} : 1. a_{2} = 3 a_{4} 2. 2 a_{2} = a_{3} + 9 ⟹ 6 a_{4} = a_{3} + 9 ⟹ a_{4} = \frac{a _{3} + 9}{6} 3. a_{5} = a_{3} + 1 Članovi a_{3}, a_{4}, a_{5} tvore geometrijski niz: a_{4}^{2} = a_{3} \cdot a_{5} (\frac{a _{3} + 9}{6})^{2} = a_{3} (a_{3} + 1) (a_{3} + 9)^{2} = 36 (a_{3}^{2} + a_{3}) ⟹ 35 a_{3}^{2} + 18 a_{3} - 81 = 0 Rješenja kvadratne jednadžbe su a_{3} = \frac{9}{7} ili a_{3} = - \frac{9}{5} . Za konvergentan geometrijski niz mora vrijediti ∣ q ∣ < 1, gdje je q = \frac{a _{4}}{a _{3}} = \frac{a _{3} + 9}{6 a _{3}} : - Za a_{3} = \frac{9}{7} ⟹ ∣ q ∣ = \frac{4}{3} > 1 (divergira) - Za a_{3} = - \frac{9}{5} ⟹ ∣ q ∣ = \frac{2}{3} < 1 (konvergira) Dakle, a_{3} = - \frac{9}{5} = - 1.8 . Odgovor: - \frac{9}{5}

Još zadataka iz ove teme

Funkcije, nizovi i derivacije

Vježba bira zadatke prema tome kako ti ide.

Zadatak 45 / 45