Zadan je pravokutan trokut s katetama duljina 20 cm i 21 cm. Koliki je postotak površine trokuta prekriven krugom kojemu je središte u vrhu pravoga kuta toga trokuta i kojemu je polumjer 16 cm?

Question

Accepted Answer

Odgovor: 89.13%

Postupak rješavanja:
1. Skiciraj trokut i krug:
Hipotenuza je √(20^2 + 21^2) = 29 cm, a površina trokuta (20 · 21)/(2) = 210 cm^2. Visina na hipotenuzu je
h = (20 · 21)/(29) = (420)/(29) ≈ 14.48 cm
To je manje od 16, pa kružnica siječe hipotenuzu u točkama D i E.
(Slika: Pravokutan trokut ABC s pravim kutom u C i katetama 20 i 21. Kružnica polumjera 16 oko C siječe hipotenuzu u D i E. Osjenčani dio kruga u trokutu čine dva isječka uz katete i trokut CDE s kutom φ, a visina h ide iz C na hipotenuzu.)
2. Izračunaj kut φ:
Trokut CDE je jednakokračan s krakovima 16 i visinom h, pa za φ = | ∠ DCE|:
cos ( φ )/(2) = (h)/(16) = (105)/(116) ⇒ φ ≈ 50.307°
Dva isječka uz katete zajedno imaju kut 90° - φ ≈ 39.693°.
3. Izračunaj površine dijelova:
Dio kruga unutar trokuta čine ta dva isječka i trokut CDE:
P i = (16^2 π · 39.693°)/(360°) ≈ 88.675, P CDE = (1)/(2) · 16^2 sin φ ≈ 98.493
P = P i + P CDE ≈ 187.168 cm^2
4. Izračunaj postotak:
(187.168)/(210) ≈ 0.8913 = 89.13%
Odgovor: 89.13%

Matura Matematika A razina 2020. Ljetni rok – Zadatak 30