Graf kvadratne funkcije f(x)=x^2-4kx+5k^2-6k siječe os x u točkama P i T. Odredite vrijednost realnoga parametra k za koji udaljenost točaka P i T iznosi 6.

Question

Accepted Answer

Odgovor: k=3

Postupak rješavanja:
1. Zapiši Vièteove formule:
Točke P i T su nultočke x 1 i x 2 funkcije f:
x 1 + x 2 = 4k, x 1 x 2 = 5k^2 - 6k
2. Iskoristi udaljenost točaka:
Točke leže na osi x, pa je |PT| = |x 1 - x 2| = 6:
(x 1 - x 2)^2 = (x 1 + x 2)^2 - 4x 1x 2 = 36
(4k)^2 - 4(5k^2 - 6k) = 36
3. Riješi jednadžbu po k:
16k^2 - 20k^2 + 24k = 36 ⇒ -4k^2 + 24k - 36 = 0
k^2 - 6k + 9 = 0 ⇒ (k - 3)^2 = 0 ⇒ k = 3
Provjera: f(x) = x^2 - 12x + 27 ima nultočke 3 i 9, a one su udaljene 6.
Odgovor: k = 3

Matura Matematika A razina 2026. Ljetni rok – Zadatak 41