Graf kvadratne funkcije $f(x)=x^{2}-4kx+5k^{2}-6k$$f(x)=x^{2}-4kx+5k^{2}-6k$ siječe os $x$$x$ u točkama $P$$P$ i $T$$T$. Odredite vrijednost realnoga parametra $k$$k$ za koji udaljenost točaka $P$$P$ i $T$$T$ iznosi $6$$6$.

Kako bismo našli parametar $k$$k$, upotrijebit ćemo vezu između nultočaka koju nam daju Vièteove formule.
Znamo da je kvadrat udaljenosti nultočaka $|x_1-x_2|^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 6^2 = 36$$|x_1-x_2|^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 6^2 = 36$.
Iz zadanog polinoma očitavamo zbroj i umnožak nultočaka:
$x_1+x_2 = 4k$$x_1+x_2 = 4k$, a $x_1x_2 = 5k^2-6k$$x_1x_2 = 5k^2-6k$.
Uvrštavamo to u jednadžbu za udaljenost:
$(4k)^2 - 4(5k^2-6k) = 36 \implies -4k^2+24k-36=0$$(4k)^2 - 4(5k^2-6k) = 36 \implies -4k^2+24k-36=0$
Nakon dijeljenja s $-4$$-4$ dobivamo:
$k^2-6k+9=0 \implies (k-3)^2=0 \implies k=3$$k^2-6k+9=0 \implies (k-3)^2=0 \implies k=3$
Odgovor: 3