Dokažite da je vrijednost izraza $\frac{(n+2)! - (n+1)!}{(n-1)!}$$ \frac{(n+2)! - (n+1)!}{(n-1)!} $ paran broj za sve prirodne brojeve $n$$n$.

Kako bismo pokazali parnost zadanog izraza, pojednostavnit ćemo dijeljenje faktorijela rastavljanjem brojioca.
$\frac{(n+2)! - (n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)! \cdot (n+2 - 1)}{(n-1)!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \cdot (n+1)}{(n-1)!} = n(n+1)^2$$\frac{(n+2)! - (n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)! \cdot (n+2 - 1)}{(n-1)!} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \cdot (n+1)}{(n-1)!} = n(n+1)^2$
Analizom konačnog oblika $n(n+1)^2$$n(n+1)^2$ uočavamo da su $n$$n$ i $n+1$$n+1$ dva uzastopna prirodna broja.
Stoga, ako je $n$$n$ paran, cijeli izraz je paran.
Ako je $n$$n$ neparan, tada je $n+1$$n+1$ paran, pa je potencija $(n+1)^2$$(n+1)^2$ parna te je opet cijeli izraz paran.
Odgovor: Izraz je uvijek paran prirodan broj