Riješite zadatke s algebarskim izrazima.
38.1.
Koliko iznosi vrijednost izraza $A^{12}+(2-A^{3})(2+A^{3})(4+A^{6})$ za svaki realni broj $A$?
38.2.
Odredite sve moguće vrijednosti realnoga broja $B^{3}$ za koje je $B^{12}-625<0$. Rješenje zapišite s pomoću intervala.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
38.1.
Postupak
Kako bismo pojednostavnili ovaj dugački izraz, prepoznat ćemo formulu za razliku kvadrata i primijeniti je uzastopno.
Grupiranjem prve dvije zagrade dobivamo:
$(2-A^3)(2+A^3) = 4 - A^6$
Množenjem tog rezultata s trećom zagradom imamo:
$(4-A^6)(4+A^6) = 16 - A^{12}$
Kada to zbrojimo s prvim članom cijelog izraza ostaje:
$A^{12} + 16 - A^{12} = 16$
Odgovor: 16
Grupiranjem prve dvije zagrade dobivamo:
$(2-A^3)(2+A^3) = 4 - A^6$
Množenjem tog rezultata s trećom zagradom imamo:
$(4-A^6)(4+A^6) = 16 - A^{12}$
Kada to zbrojimo s prvim članom cijelog izraza ostaje:
$A^{12} + 16 - A^{12} = 16$
Odgovor: 16
Rješenje:
$16$
38.2.
Postupak
Kako bismo riješili ovu nejednadžbu, primijenit ćemo supstituciju $t = B^3$ kojom će ona prijeći u niži stupanj.
Nejednadžba $B^{12} - 625 < 0$ postaje $t^4 - 625 < 0$.
Razlikom kvadrata rastavljamo izraz:
$(t^2-25)(t^2+25) < 0$
Budući da je faktor $t^2+25$ uvijek strogo pozitivan, jedini način da umnožak bude negativan je da vrijedi $t^2 - 25 < 0$.
Rješenje ove kvadratne nejednadžbe je interval $t \in \langle -5, 5 \rangle$.
Odgovor: $\langle -5, 5 \rangle$
Nejednadžba $B^{12} - 625 < 0$ postaje $t^4 - 625 < 0$.
Razlikom kvadrata rastavljamo izraz:
$(t^2-25)(t^2+25) < 0$
Budući da je faktor $t^2+25$ uvijek strogo pozitivan, jedini način da umnožak bude negativan je da vrijedi $t^2 - 25 < 0$.
Rješenje ove kvadratne nejednadžbe je interval $t \in \langle -5, 5 \rangle$.
Odgovor: $\langle -5, 5 \rangle$
Rješenje:
$\langle-5, 5\rangle$