Zadana je kvadratna funkcija $f(x)=2x^{2}+4x$.
36.1.
Odredite jednadžbu tangente na graf funkcije $f$ u točki na grafu kojoj je apscisa jednaka $1$.
36.2.
Odredite vrijednost realnoga parametra $p$ tako da kvadratna funkcija $g(x)=f(x)+p$ ima točno jednu realnu nultočku.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
36.1.
Postupak
Kako bismo napisali jednadžbu tangente, potrebno nam je diralište i koeficijent smjera pravca.
Ordinatu dirališta dobivamo uvrštavanjem $x=1$ u funkciju: $f(1) = 2(1)^2 + 4(1) = 6 \implies T(1,6)$.
Koeficijent smjera tangente jednak je vrijednosti prve derivacije u točki $x=1$:
$f'(x) = 4x + 4 \implies k = f'(1) = 8$
Uvrštavamo u jednadžbu pravca zadanog točkom i koeficijentom:
$y-6 = 8(x-1) \implies y = 8x-2$
Odgovor: $y=8x-2$
Ordinatu dirališta dobivamo uvrštavanjem $x=1$ u funkciju: $f(1) = 2(1)^2 + 4(1) = 6 \implies T(1,6)$.
Koeficijent smjera tangente jednak je vrijednosti prve derivacije u točki $x=1$:
$f'(x) = 4x + 4 \implies k = f'(1) = 8$
Uvrštavamo u jednadžbu pravca zadanog točkom i koeficijentom:
$y-6 = 8(x-1) \implies y = 8x-2$
Odgovor: $y=8x-2$
Rješenje:
$y=8x-2$
36.2.
Postupak
Kako bismo osigurali da kvadratna jednadžba $2x^2 + 4x + p = 0$ ima točno jedno realno rješenje, njezina diskriminanta mora biti jednaka nuli.
$D = b^2 - 4ac = 16 - 4 \cdot 2 \cdot p = 0$
Rješavamo dobivenu jednadžbu:
$16 - 8p = 0 \implies 8p = 16 \implies p = 2$
Odgovor: 2
$D = b^2 - 4ac = 16 - 4 \cdot 2 \cdot p = 0$
Rješavamo dobivenu jednadžbu:
$16 - 8p = 0 \implies 8p = 16 \implies p = 2$
Odgovor: 2
Rješenje:
$2$