Duljina bočnoga brida pravilne uspravne šesterostrane prizme iznosi $15$ cm, a volumen $1440\sqrt{3}~\text{cm}^{3}$. Koliko iznosi oplošje uspravnoga stošca upisanoga u tu prizmu?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$4\pi(12+3\sqrt{91})\approx510.42~\text{cm}^{2}$
Postupak rješavanja
Imamo pravilnu šesterostranu prizme. Visina $v=15$.
Volumen $V = B \cdot v = 1440\sqrt{3} \implies B = 96\sqrt{3}$ .
Baza je šesterokut: $B = 6 \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2}a^2\sqrt{3}$.
Izjednačimo: $\frac{3}{2}a^2\sqrt{3} = 96\sqrt{3} \implies a^2 = 64 \implies a=8$ .
Upisani stožac: $r_{stošca}$ je visina trokuta u bazi = $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. Visina $v=15$ .
Izvodnica $s = \sqrt{r^2+v^2} = \sqrt{48+225} = \sqrt{273}$ .
Oplošje stošca: $O = r^2\pi + r\pi s = 48\pi + 4\sqrt{3}\pi\sqrt{273}$ .
$O = 48\pi + 12\pi\sqrt{91} = 12\pi(4+\sqrt{91})$ .
Volumen $V = B \cdot v = 1440\sqrt{3} \implies B = 96\sqrt{3}$ .
Baza je šesterokut: $B = 6 \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2}a^2\sqrt{3}$.
Izjednačimo: $\frac{3}{2}a^2\sqrt{3} = 96\sqrt{3} \implies a^2 = 64 \implies a=8$ .
Upisani stožac: $r_{stošca}$ je visina trokuta u bazi = $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. Visina $v=15$ .
Izvodnica $s = \sqrt{r^2+v^2} = \sqrt{48+225} = \sqrt{273}$ .
Oplošje stošca: $O = r^2\pi + r\pi s = 48\pi + 4\sqrt{3}\pi\sqrt{273}$ .
$O = 48\pi + 12\pi\sqrt{91} = 12\pi(4+\sqrt{91})$ .