Duljina bočnoga brida pravilne uspravne šesterostrane prizme iznosi 15 cm, a volumen 1440√(3) cm^3. Koliko iznosi oplošje uspravnoga stošca upisanoga u tu prizmu?

Question

Accepted Answer

Odgovor: 4 π (12+3√(91)) ≈ 510.42 cm^2

Postupak rješavanja:
1. Izračunaj brid osnovke:
B = (V)/(v) = (1440√(3))/(15) = 96√(3)
Osnovka je pravilni šesterokut, šest jednakostraničnih trokuta:
6 · (a^2√(3))/(4) = 96√(3) ⇒ a^2 = 64 ⇒ a = 8 cm
2. Odredi polumjer i izvodnicu stošca:
Baza stošca je krug upisan šesterokutu, pa je polumjer visina jednakostraničnog trokuta: r = (8√(3))/(2) = 4√(3) cm. Visina stošca je 15 cm:
s = √(r^2 + v^2) = √(48 + 225) = √(273) cm
3. Izračunaj oplošje:
O = r^2 π + r π s = 48 π + 4√(3) · √(273) π = 48 π + 12√(91) π
O = 4 π (12 + 3√(91)) ≈ 510.42 cm^2
Odgovor: 4 π (12 + 3√(91)) ≈ 510.42 cm^2

Matura Matematika A razina 2025. Ljetni rok – Zadatak 44