Odredite sve realne brojeve $x$ za koje su $1$, $\cos(5x)$ i $\sin^{2}(5x)$ tri uzastopna člana geometrijskoga niza.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$\left\{ \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10}, k \in \mathbf{Z} \right\}$ ili $\left\{ \pm \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{5}, k \in \mathbf{Z} \right\}$
Postupak rješavanja
Uvjet da su $1$, $\cos(5x)$ i $\sin^2(5x)$ tri uzastopna člana geometrijskog niza je da je kvadrat srednjeg člana jednak umnošku vanjskih članova.
$\cos^2(5x) = 1 \cdot \sin^2(5x)$
$\cos^2(5x) - \sin^2(5x) = 0$
Koristimo formulu za kosinus dvostrukog kuta: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
$\cos(10x) = 0$
Rješenja su $10x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10}$.
Odgovor: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10}$ (ili ekvivalentno $(2k+1)\frac{\pi}{20}$).
$\cos^2(5x) = 1 \cdot \sin^2(5x)$
$\cos^2(5x) - \sin^2(5x) = 0$
Koristimo formulu za kosinus dvostrukog kuta: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
$\cos(10x) = 0$
Rješenja su $10x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10}$.
Odgovor: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{k\pi}{10}$ (ili ekvivalentno $(2k+1)\frac{\pi}{20}$).