Odredite sve realne brojeve x za koje su 1, cos (5x) i sin ^2(5x) tri uzastopna člana geometrijskoga niza.

Question

Accepted Answer

Odgovor: { ( π )/(20) + (k π )/(10), k ∈ ℤ } ili { ± ( π )/(20) + (k π )/(5), k ∈ ℤ }

Postupak rješavanja:
1. Primijeni svojstvo geometrijskog niza:
Kvadrat srednjeg člana jednak je umnošku susjednih:
cos ^2(5x) = 1 · sin ^2(5x)
2. Svedi na osnovnu jednadžbu:
Za cos (5x) = 0 bilo bi sin ^2(5x) = 1 ≠ 0, pa smiješ podijeliti s cos ^2(5x):
tan ^2(5x) = 1 ⇒ tan (5x) = ± 1
3. Riješi jednadžbu:
5x = ± ( π )/(4) + k π, a obje skupine zajedno daju 5x = ( π )/(4) + (k π )/(2):
x = ( π )/(20) + (k π )/(10), k ∈ ℤ
Odgovor: x ∈ {( π )/(20) + (k π )/(10) : k ∈ ℤ}

Matura Matematika A razina 2025. Ljetni rok – Zadatak 43