Točka C(x c,y c) nalazi se u prvome kvadrantu koordinatnoga sustava i pripada grafu parne kvadratne funkcije kojoj je maksimalna vrijednost 9, a jedna nultočka -3√(3). Točka A ortogonalna je projekcij

Question

Accepted Answer

Odgovor: f(x) = -(1)/(3)x^2 + 9, P(x) = -(1)/(3)x^3 + 9x, P'(x) = -x^2 + 9 i rješenje 18

Postupak rješavanja:
1. Odredi kvadratnu funkciju:
Funkcija je parna, pa je f(x) = ax^2 + c. Najveća vrijednost je u tjemenu (0, c), pa je c = 9 i a < 0. Iz nultočke:
a(-3√(3))^2 + 9 = 0 ⇒ 27a = -9 ⇒ a = -(1)/(3)
f(x) = -(1)/(3)x^2 + 9
2. Izrazi površinu trokuta:
Vrhovi su C(x c, y c), A(0, y c) i B(x c, -y c). Trokut je pravokutan s pravim kutom u C, a katete su |AC| = x c i |BC| = 2y c:
P = (1)/(2) · x c · 2y c = x c y c
3. Postavi funkciju površine i deriviraj:
Točka C je na grafu, pa je y c = -(1)/(3)x c^2 + 9. Za 0 < x < 3√(3):
P(x) = x(-(1)/(3)x^2 + 9) = -(1)/(3)x^3 + 9x
P'(x) = -x^2 + 9
4. Izračunaj najveću površinu:
P'(x) = 0 ⇒ x = 3. Derivacija je pozitivna lijevo od 3, a negativna desno, pa je to maksimum:
P(3) = 3 · (-3 + 9) = 18
Odgovor: 18

Matura Matematika A razina 2025. Ljetni rok – Zadatak 45