Točka $C(x_{c},y_{c})$ nalazi se u prvome kvadrantu koordinatnoga sustava i pripada grafu parne kvadratne funkcije kojoj je maksimalna vrijednost $9$, a jedna nultočka $-3\sqrt{3}$. Točka $A$ ortogonalna je projekcija točke $C$ na os $y$, a točka $B$ ortogonalna je projekcija točke $C$ na pravac $y+y_{c}=0$. Koliko iznosi najveća moguća površina trokuta $ABC$?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 9, P(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 9x, P'(x) = -x^2 + 9$ i rješenje $18$
Postupak rješavanja
Parna kvadratna funkcija: $f(x) = ax^2 + 9$ (zbog max 9 u $x=0$) .
Nultočka $-3\sqrt{3} \implies a(-3\sqrt{3})^2 + 9 = 0 \implies 27a = -9 \implies a = -\frac{1}{3}$ .
Točka C $(x_c, y_c)$ na grafu u I. kvadrantu. $y_c = -\frac{1}{3}x_c^2 + 9$.
Trokut ABC s vrhovima $A(0, y_c)$, $B(x_c, -y_c)$ i $C(x_c, y_c)$ je pravokutan.
Katete su $x_c$ i $2y_c$. Površina $P = \frac{1}{2} x_c (2y_c) = x_c y_c$ .
$P(x) = x(-\frac{1}{3}x^2 + 9) = -\frac{1}{3}x^3 + 9x$.
Derivacija $P'(x) = -x^2 + 9$. Stacionarna točka $x^2=9 \implies x=3$ .
Max površina: $P(3) = 3(-\frac{1}{3}\cdot 9 + 9) = 3(-3+9) = 18$.
Nultočka $-3\sqrt{3} \implies a(-3\sqrt{3})^2 + 9 = 0 \implies 27a = -9 \implies a = -\frac{1}{3}$ .
Točka C $(x_c, y_c)$ na grafu u I. kvadrantu. $y_c = -\frac{1}{3}x_c^2 + 9$.
Trokut ABC s vrhovima $A(0, y_c)$, $B(x_c, -y_c)$ i $C(x_c, y_c)$ je pravokutan.
Katete su $x_c$ i $2y_c$. Površina $P = \frac{1}{2} x_c (2y_c) = x_c y_c$ .
$P(x) = x(-\frac{1}{3}x^2 + 9) = -\frac{1}{3}x^3 + 9x$.
Derivacija $P'(x) = -x^2 + 9$. Stacionarna točka $x^2=9 \implies x=3$ .
Max površina: $P(3) = 3(-\frac{1}{3}\cdot 9 + 9) = 3(-3+9) = 18$.