Dokažite da ne postoji realni broj x za koji vrijedi log a(x-7)+ log ax= log a(x-15) za svaki realni broj a0, a ≠ 1.

Question

Dokažite da ne postoji realni broj x za koji vrijedi log a(x-7)+ log ax= log a(x-15) za svaki realni broj a>0, a ≠ 1.

Accepted Answer

Odgovor: Rješavanje logaritamske jednadžbe svodi se na rješavanje kvadratne jednadžbe x^2-8x+15=0 čija rješenja nisu u skladu s uvjetom logaritamske jednadžbe x>15.

Postupak rješavanja:
1. Odredi uvjete:
Logaritmi su definirani samo za pozitivne argumente:
x - 7 > 0, x > 0, x - 15 > 0 ⇒ x > 15
2. Riješi jednadžbu:
Lijevo je zbroj logaritama iste baze, pa je log a (x(x - 7) ) = log a(x - 15):
x(x - 7) = x - 15 ⇒ x^2 - 8x + 15 = 0 ⇒ x 1 = 3, x 2 = 5
3. Usporedi s uvjetima:
Ni 3 ni 5 nije veći od 15, a to vrijedi za svaku bazu a. Jednadžba zato nema rješenja.
Odgovor: Takav x ne postoji: rješenja 3 i 5 nisu veća od 15.

Matura Matematika A razina 2025. Ljetni rok – Zadatak 40