Dokažite da ne postoji realni broj $x$ za koji vrijedi $\log_{a}(x-7)+\log_{a}x=\log_{a}(x-15)$ za svaki realni broj $a>0, a\ne1$.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
Rješavanje logaritamske jednadžbe svodi se na rješavanje kvadratne jednadžbe $x^{2}-8x+15=0$ čija rješenja nisu u skladu s uvjetom logaritamske jednadžbe $x>15$.
Postupak rješavanja
Analiziramo domenu jednadžbe $\log_a((x-7)x) = \log_a(x-15)$.
Uvjeti: $x-7>0$, $x>0$, $x-15>0$. Presjek uvjeta je $x > 15$ .
Rješavamo jednadžbu antilogaritmiranjem:
$x(x-7) = x-15 \implies x^2 - 7x = x - 15$ .
$x^2 - 8x + 15 = 0$ .
Rješenja kvadratne su $x_1 = 3, x_2 = 5$ .
Provjera uvjeta: Niti 3 niti 5 nisu veći od 15.
Zaključak: Jednadžba nema rješenja.
Uvjeti: $x-7>0$, $x>0$, $x-15>0$. Presjek uvjeta je $x > 15$ .
Rješavamo jednadžbu antilogaritmiranjem:
$x(x-7) = x-15 \implies x^2 - 7x = x - 15$ .
$x^2 - 8x + 15 = 0$ .
Rješenja kvadratne su $x_1 = 3, x_2 = 5$ .
Provjera uvjeta: Niti 3 niti 5 nisu veći od 15.
Zaključak: Jednadžba nema rješenja.