Odredite koordinate točaka grafa funkcije $f(x)=\frac{3x}{2x+1}$ u kojima su tangente na graf te funkcije paralelne pravcu $3x-4y-5=0$.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$T_{1}(\frac{1}{2},\frac{3}{4}), T_{2}(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$
Postupak rješavanja
Zadani pravac $4y = 3x - 5$ ima koeficijent smjera $k = \frac{3}{4}$.
Tražimo točke na krivulji gdje je derivacija jednaka $\frac{3}{4}$.
$f(x) = \frac{3x}{2x+1}$
$f'(x) = \frac{3(2x+1) - 3x(2)}{(2x+1)^2} = \frac{3}{(2x+1)^2}$
Jednadžba: $\frac{3}{(2x+1)^2} = \frac{3}{4} \implies (2x+1)^2 = 4$
$2x+1 = 2 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
$2x+1 = -2 \implies x_2 = -\frac{3}{2}$
Računamo y koordinate:
$y_1 = f(\frac{1}{2}) = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} \implies T_2(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$
$y_2 = f(-\frac{3}{2}) = \frac{-9/2}{-2} = \frac{9}{4} \implies T_1(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$
Tražimo točke na krivulji gdje je derivacija jednaka $\frac{3}{4}$.
$f(x) = \frac{3x}{2x+1}$
$f'(x) = \frac{3(2x+1) - 3x(2)}{(2x+1)^2} = \frac{3}{(2x+1)^2}$
Jednadžba: $\frac{3}{(2x+1)^2} = \frac{3}{4} \implies (2x+1)^2 = 4$
$2x+1 = 2 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
$2x+1 = -2 \implies x_2 = -\frac{3}{2}$
Računamo y koordinate:
$y_1 = f(\frac{1}{2}) = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4} \implies T_2(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$
$y_2 = f(-\frac{3}{2}) = \frac{-9/2}{-2} = \frac{9}{4} \implies T_1(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$