U pravilni tetraedar bridova duljine 3 cm upisana je pravilna uspravna trostrana prizma sa svim bridovima jednake duljine. Vrhovi gornje baze te prizme na bočnim su bridovima tetraedra, a donja je baz

Question

Accepted Answer

Odgovor: (27(√(6)-2)^3√(3))/(4) ≈ 1.062 cm^3

Postupak rješavanja:
1. Izračunaj visinu tetraedra:
Visina pravilnog tetraedra s bridom 3 cm je
v T = (3√(6))/(3) = √(6) cm
2. Postavi omjer sličnosti:
Neka je a duljina brida prizme. Gornja baza je na visini a, a vrhovi su joj na bočnim bridovima, pa je to presjek tetraedra paralelan s bazom. Taj jednakostraničan trokut sličan je bazi u omjeru udaljenosti od vrha tetraedra:
(a)/(3) = (√(6) - a)/(√(6))
3. Izračunaj brid prizme:
a√(6) = 3√(6) - 3a ⇒ a(3 + √(6)) = 3√(6)
a = (3√(6))/(3 + √(6)) = (3√(6)(3 - √(6)))/(3) = 3√(6) - 6 cm
4. Izračunaj volumen prizme:
Baza je jednakostraničan trokut s bridom a, a visina je a:
V = (a^2√(3))/(4) · a = ((3√(6) - 6)^3√(3))/(4) = (27(√(6) - 2)^3√(3))/(4) ≈ 1.062 cm^3
Odgovor: V ≈ 1.062 cm^3

Matura Matematika A razina 2025. Jesenski rok – Zadatak 45