U pravilni tetraedar bridova duljine $3$ cm upisana je pravilna uspravna trostrana prizma sa svim bridovima jednake duljine. Vrhovi gornje baze te prizme na bočnim su bridovima tetraedra, a donja je baza prizme u ravnini baze tetraedra. Koliko iznosi volumen upisane prizme?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$\frac{27(\sqrt{6}-2)^{3}\sqrt{3}}{4}\approx1.062~\text{cm}^{3}$
Postupak rješavanja
Koristimo sličnost trokuta (presjek tetraedra) za upisanu prizmu visine $a$ i osnovnog brida $a$ u tetraedar brida 3.
Visina tetraedra $v_T = \sqrt{6}$.
Omjer visina i stranica: $\frac{a}{3} = \frac{v_T - a}{v_T}$
$a v_T = 3 v_T - 3a \implies a(v_T + 3) = 3 v_T$
$a = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}+3} = \sqrt{6}(3-\sqrt{6})$
Volumen prizme (baza je jednakostraničan trokut):
$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
Uvrštavanjem $a$ dobivamo:
$V = \frac{729\sqrt{2} - 594\sqrt{3}}{2} \approx 1.06$ cm$^3$
Visina tetraedra $v_T = \sqrt{6}$.
Omjer visina i stranica: $\frac{a}{3} = \frac{v_T - a}{v_T}$
$a v_T = 3 v_T - 3a \implies a(v_T + 3) = 3 v_T$
$a = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}+3} = \sqrt{6}(3-\sqrt{6})$
Volumen prizme (baza je jednakostraničan trokut):
$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
Uvrštavanjem $a$ dobivamo:
$V = \frac{729\sqrt{2} - 594\sqrt{3}}{2} \approx 1.06$ cm$^3$