Koliko iznosi $\left( 2 \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{FD} \right) \cdot \overrightarrow{CD}$ ako je $ABCDEF$ pravilni šesterokut čija je stranica duljine $1$?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$-1$
Postupak rješavanja
Koristimo svojstva pravilnog šesterokuta:
$\vec{FD}$ je paralelan i jednak vektor $\vec{AC}$.
Izraz postaje $(2\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{CD}$.
Znamo $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
$2\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{AB} - \vec{BC}$.
Ovo se može svesti na vektore iz središta $S$: $\vec{SB} \cdot \vec{SE}$.
Vektori $\vec{SB}$ i $\vec{SE}$ su nasuprotni (kolinarni, suprotne orijentacije), kut je $180^{\circ}$.
Duljine su im 1.
Skalarni umnožak: $1 \cdot 1 \cdot \cos(180^{\circ}) = -1$.
$\vec{FD}$ je paralelan i jednak vektor $\vec{AC}$.
Izraz postaje $(2\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{CD}$.
Znamo $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
$2\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{AB} - \vec{BC}$.
Ovo se može svesti na vektore iz središta $S$: $\vec{SB} \cdot \vec{SE}$.
Vektori $\vec{SB}$ i $\vec{SE}$ su nasuprotni (kolinarni, suprotne orijentacije), kut je $180^{\circ}$.
Duljine su im 1.
Skalarni umnožak: $1 \cdot 1 \cdot \cos(180^{\circ}) = -1$.