Dokažite da je kvadrat svakoga neparnog prirodnog broja umanjen za jedan djeljiv brojem osam.

Question

Accepted Answer

Odgovor: (2n-1)^2-1=4n(n-1), n ∈ N. Brojevi n-1 i n uzastopni su cijeli brojevi pa je jedan od njih sigurno paran, odnosno djeljiv brojem 2. Paran broj pomnožen brojem 4 djeljiv je brojem 8.

Postupak rješavanja:
1. Zapiši neparan broj:
Svaki neparan prirodan broj može se zapisati kao 2n - 1, gdje je n ∈ ℕ.
2. Raspiši izraz:
(2n - 1)^2 - 1 = 4n^2 - 4n + 1 - 1 = 4n^2 - 4n = 4n(n - 1)
3. Obrazloži djeljivost:
Brojevi n - 1 i n uzastopni su cijeli brojevi, pa je jedan od njih paran i n(n - 1) = 2m za neki cijeli m. Onda je 4n(n - 1) = 8m, a to je djeljivo s 8.
Odgovor: (2n - 1)^2 - 1 = 4n(n - 1), a n(n - 1) je paran, pa je izraz djeljiv s 8.

Matura Matematika A razina 2025. Jesenski rok – Zadatak 40