Što od navedenoga može vrijediti za realne brojeve $a$ i $b$ ako su rješenja jednadžbe $a^{2}x+abx=a+b$ svi realni brojevi?
A
$a=-b$ i $a\ne0$
B
$a=b$ i $b\ne0$
C
$a=0$ i $b\ne0$
D
$b=0$ i $a\ne0$
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
A
Postupak rješavanja
Jednadžba: $ax(a+b) = a+b \implies (a+b)(ax-1) = 0$.
Da bi rješenje bio *svaki* realan broj, jednadžba mora biti identitet oblika $0=0$ neovisno o $x$.
To zahtijeva $a+b=0 \implies b=-a$.
Dodatno, da bi $x$ uopće bio definiran u jednadžbi (da ne nestane u potpunosti bez traga u nekom koraku dijeljenja, ili po uvjetu zadatka o linearnoj jednadžbi), parametar uz $x$ ne bi smio biti 0 ako gledamo formu $Ax=B$. Međutim, ovdje izraz $(a+b)(ax-1)=0$ za svaki $x$ povlači $a+b=0$. Uvjet $a \ne 0$ osigurava da je $x$ uopće prisutan u strukturi.
Odgovor: A
Da bi rješenje bio *svaki* realan broj, jednadžba mora biti identitet oblika $0=0$ neovisno o $x$.
To zahtijeva $a+b=0 \implies b=-a$.
Dodatno, da bi $x$ uopće bio definiran u jednadžbi (da ne nestane u potpunosti bez traga u nekom koraku dijeljenja, ili po uvjetu zadatka o linearnoj jednadžbi), parametar uz $x$ ne bi smio biti 0 ako gledamo formu $Ax=B$. Međutim, ovdje izraz $(a+b)(ax-1)=0$ za svaki $x$ povlači $a+b=0$. Uvjet $a \ne 0$ osigurava da je $x$ uopće prisutan u strukturi.
Odgovor: A