Riješite zadatke.
38.1.
Zbroj pet različitih prirodnih brojeva iznosi $6555$. Ako te brojeve poredamo po veličini, razlika je između svakih dvaju susjednih brojeva konstantna. Zapišite nekih pet brojeva za koje vrijedi navedeno.
38.2.
Zadane su točke $A\left(-4, 1\right)$, $B\left(4, 3\right)$ i $C\left(4m, m+2\right)$, $m \in \mathbf{R} \setminus \left\{-1, 1\right\}$. Dokažite da su vektori $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ kolinearni.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
38.1.
Postupak
Zbroj 5 uzastopnih članova aritmetičkog niza je $5x$ (gdje je $x$ srednji član).
$5x = 6555 \implies x = 1311$.
Članovi su $x-2d, x-d, x, x+d, x+2d$. Da bi brojevi bili prirodni, najmanji broj mora biti barem 1:
$1311 - 2d \ge 1 \implies 2d \le 1310 \implies d \le 655$.
Priznaje se bilo kojih pet brojeva koji zadovoljavaju gornji oblik za $d \in \{1, 2, \dots, 655\}$.
Primjerice, za $d = 654$ dobivamo brojeve: $3, 657, 1311, 1965, 2619$.
$5x = 6555 \implies x = 1311$.
Članovi su $x-2d, x-d, x, x+d, x+2d$. Da bi brojevi bili prirodni, najmanji broj mora biti barem 1:
$1311 - 2d \ge 1 \implies 2d \le 1310 \implies d \le 655$.
Priznaje se bilo kojih pet brojeva koji zadovoljavaju gornji oblik za $d \in \{1, 2, \dots, 655\}$.
Primjerice, za $d = 654$ dobivamo brojeve: $3, 657, 1311, 1965, 2619$.
Rješenje:
Priznaje se pet brojeva oblika: $1311-2d, 1311-d, 1311, 1311+d, 1311+2d$ pri čemu je $d \in \mathbf{N}, d \le 655$.
Primjer rješenja (za $d = 654$): $3, 657, 1311, 1965, 2619$
Primjer rješenja (za $d = 654$): $3, 657, 1311, 1965, 2619$
38.2.
Postupak
Provjeravamo kolinearnost točaka određivanjem jednadžbe pravca kroz $A$ i $B$:
$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-1}{4-(-4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$y - 1 = \frac{1}{4}(x+4) \implies y = \frac{1}{4}x + 2$.
Uvrštavamo koordinate točke $C(4m, m+2)$:
$m+2 = \frac{1}{4}(4m) + 2 \implies m+2 = m+2$.
Jednakost vrijedi za svaki $m$, što dokazuje tvrdnju.
$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-1}{4-(-4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$y - 1 = \frac{1}{4}(x+4) \implies y = \frac{1}{4}x + 2$.
Uvrštavamo koordinate točke $C(4m, m+2)$:
$m+2 = \frac{1}{4}(4m) + 2 \implies m+2 = m+2$.
Jednakost vrijedi za svaki $m$, što dokazuje tvrdnju.
Rješenje:
Vektori $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ kolinearni su jer za svaki $m \in \mathbf{R} \setminus \left\{-1, 1\right\}$ postoji $k$ takav da vrijedi $\overrightarrow{AC}=k\cdot\overrightarrow{AB}.$