Riješite zadatke.
39.1.
Projektil lansiran s visine 3.5 m giba se po paraboli. Tri sekunde nakon lansiranja bio je na visini od 9 m, a 12 sekunda nakon lansiranja pao je na tlo. Koliko iznosi maksimalna visina koju je projektil dosegao?
39.2.
Umjetnik izrađuje mozaik u obliku jednakostraničnoga trokuta visine $12\sqrt{3}$ m. Mozaik se sastoji od pločica plave i bijele boje oblika jednakostraničnoga trokuta koje se izmjenjuju kao na skici. Mozaik je potpuno popločen plavim i bijelim pločicama. Kolika je duljina stranice jedne pločice ako je umjetnik za izradu mozaika utrošio 20 100 komada bijelih pločica?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
39.1.
Postupak
Modeliramo putanju projektila parabolom $y = ax^2 + bx + c$.
Točke: $(0, 3.5)$, $(3, 9)$, $(12, 0)$.
1. $c = 3.5$ (iz prve točke).
2. Sustav:
$9a(3^2) + 3b + 3.5 = 9 \implies 9a + 3b = 5.5$
$a(12^2) + 12b + 3.5 = 0 \implies 144a + 12b = -3.5$
Rješenjem sustava dobivamo $a = -\frac{17}{72}$, $b = \frac{61}{24}$.
Maksimalna visina (tjeme): $y_{max} = \frac{4ac - b^2}{4a}$ ili izračunom $x_T$ pa $y(x_T)$.
Izračun daje $y_{max} \approx 10.34$ m.
Točke: $(0, 3.5)$, $(3, 9)$, $(12, 0)$.
1. $c = 3.5$ (iz prve točke).
2. Sustav:
$9a(3^2) + 3b + 3.5 = 9 \implies 9a + 3b = 5.5$
$a(12^2) + 12b + 3.5 = 0 \implies 144a + 12b = -3.5$
Rješenjem sustava dobivamo $a = -\frac{17}{72}$, $b = \frac{61}{24}$.
Maksimalna visina (tjeme): $y_{max} = \frac{4ac - b^2}{4a}$ ili izračunom $x_T$ pa $y(x_T)$.
Izračun daje $y_{max} \approx 10.34$ m.
Rješenje:
$\frac{5625}{544} \approx 10.34$
39.2.
Postupak
Problem modeliramo nizom. Visina mozaika je $H = 12\sqrt{3}$ m.
Neka je stranica jedne pločice $a$. Visina jedne pločice je $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Broj redova u mozaiku je $n = \frac{H}{h} = \frac{12\sqrt{3}}{a\sqrt{3}/2} = \frac{24}{a}$.
Bijele i plave pločice se izmjenjuju. U prvom redu je 1 pločica (pretpostavimo bijela), u drugom 3, itd.
Broj bijelih pločica odgovara sumi prvih $n$ prirodnih brojeva: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Zadano je $S_n = 20\,100$.
$\frac{n(n+1)}{2} = 20\,100 \implies n(n+1) = 40\,200$.
Rješavamo kvadratnu jednadžbu $n^2 + n - 40\,200 = 0$.
$n = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4\cdot 40\,200}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{160\,801}}{2} = \frac{-1 + 401}{2} = 200$.
Broj redova je $n=200$.
Iz $n = \frac{24}{a}$ slijedi $a = \frac{24}{n} = \frac{24}{200} = 0.12$ m.
Odgovor: $12$ cm
Neka je stranica jedne pločice $a$. Visina jedne pločice je $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Broj redova u mozaiku je $n = \frac{H}{h} = \frac{12\sqrt{3}}{a\sqrt{3}/2} = \frac{24}{a}$.
Bijele i plave pločice se izmjenjuju. U prvom redu je 1 pločica (pretpostavimo bijela), u drugom 3, itd.
Broj bijelih pločica odgovara sumi prvih $n$ prirodnih brojeva: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Zadano je $S_n = 20\,100$.
$\frac{n(n+1)}{2} = 20\,100 \implies n(n+1) = 40\,200$.
Rješavamo kvadratnu jednadžbu $n^2 + n - 40\,200 = 0$.
$n = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4\cdot 40\,200}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{160\,801}}{2} = \frac{-1 + 401}{2} = 200$.
Broj redova je $n=200$.
Iz $n = \frac{24}{a}$ slijedi $a = \frac{24}{n} = \frac{24}{200} = 0.12$ m.
Odgovor: $12$ cm
Rješenje:
$0.12~\text{m}$