Površina trokuta iznosi 90√(3) cm^2, opseg 60 cm, a mjera jednoga kuta 60°. Odredite duljine stranica toga trokuta.

Question

Accepted Answer

Odgovor: 15, 21, 24

Postupak rješavanja:
1. Izračunaj umnožak dviju stranica:
Neka kut od 60° leži između stranica x i y, a nasuprot njemu je stranica z:
(1)/(2)xy sin 60° = 90√(3) ⇒ (√(3))/(4)xy = 90√(3) ⇒ xy = 360
2. Primijeni poučak o kosinusu:
z^2 = x^2 + y^2 - 2xy cos 60° = x^2 + y^2 - xy = (x + y)^2 - 3xy
3. Postavi jednadžbu s jednom nepoznanicom:
Iz opsega je x + y = 60 - z:
z^2 = (60 - z)^2 - 3 · 360 ⇒ z^2 = 3600 - 120z + z^2 - 1080 ⇒ 120z = 2520 ⇒ z = 21
4. Odredi preostale stranice:
x + y = 39 i xy = 360, pa su x i y rješenja jednadžbe t^2 - 39t + 360 = 0: t 1 = 15, t 2 = 24.
Odgovor: 15 cm, 21 cm i 24 cm

Matura Matematika A razina 2024. Jesenski rok – Zadatak 40