Površina trokuta iznosi $90\sqrt{3}~\text{cm}^{2}$, opseg 60 cm, a mjera jednoga kuta $60^{\circ}$. Odredite duljine stranica toga trokuta.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$15, 21, 24$
Postupak rješavanja
Zadano: $P = 90\sqrt{3}$, $O = 60$, kut $60^{\circ}$ (srednji po veličini).
Označi stranice $a \le b \le c$. Slijedi $\beta = 60^{\circ}$.
Sustav jednadžbi:
1. $P = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \implies 90\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \frac{\sqrt{3}}{2} \implies ac = 360$.
2. $a + c = 60 - b$.
3. Kosinusov poučak: $b^2 = a^2 + c^2 - ac$.
Sređivanjem: $(a+c)^2 - 2ac - ac = b^2 \implies (60-b)^2 - 3(360) = b^2$.
$3600 - 120b + b^2 - 1080 = b^2 \implies 120b = 2520 \implies b = 21$.
Sada: $a+c = 39$ i $ac = 360$.
$a, c$ su rješenja $x^2 - 39x + 360 = 0$.
$x_1 = 15, x_2 = 24$.
Stranice su 15, 21, 24.
Označi stranice $a \le b \le c$. Slijedi $\beta = 60^{\circ}$.
Sustav jednadžbi:
1. $P = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \implies 90\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \frac{\sqrt{3}}{2} \implies ac = 360$.
2. $a + c = 60 - b$.
3. Kosinusov poučak: $b^2 = a^2 + c^2 - ac$.
Sređivanjem: $(a+c)^2 - 2ac - ac = b^2 \implies (60-b)^2 - 3(360) = b^2$.
$3600 - 120b + b^2 - 1080 = b^2 \implies 120b = 2520 \implies b = 21$.
Sada: $a+c = 39$ i $ac = 360$.
$a, c$ su rješenja $x^2 - 39x + 360 = 0$.
$x_1 = 15, x_2 = 24$.
Stranice su 15, 21, 24.