Riješite zadatke.
39.1.
Ako funkcija $f(x)=\frac{4x-a}{x^{2}+1}$ za $x=2$ postiže lokalni maksimum, odredite $x$ za koji ta funkcija postiže lokalni minimum.
39.2.
Banka je izradila set novih kovanica različite veličine tako da svaka sljedeća kovanica ima za $1.5$ mm veći promjer od prethodne. Koliko je kovanica u setu ako je promjer najveće kovanice za $60\%$ veći od promjera najmanje kovanice, a prosječan je promjer svih kovanica $26$ mm?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
39.1.
Postupak
Tražimo drugi lokalni ekstrem funkcije:
Derivacija kvocijenta: $f'(x) = \frac{-2(2x^2 - ax - 2)}{(x^2+1)^2}$.
Stacionarne točke su nultočke brojnika: $2x^2 - ax - 2 = 0$.
Znamo da je $x_1 = 2$ jedno rješenje. Prema Vieteovim formulama, umnožak rješenja je $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{2} = -1$.
$2 \cdot x_2 = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$
Provjerom predznaka derivacije potvrđujemo da je to ekstrem (minimum).
Derivacija kvocijenta: $f'(x) = \frac{-2(2x^2 - ax - 2)}{(x^2+1)^2}$.
Stacionarne točke su nultočke brojnika: $2x^2 - ax - 2 = 0$.
Znamo da je $x_1 = 2$ jedno rješenje. Prema Vieteovim formulama, umnožak rješenja je $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{2} = -1$.
$2 \cdot x_2 = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$
Provjerom predznaka derivacije potvrđujemo da je to ekstrem (minimum).
Rješenje:
$x=-\frac{1}{2}$
39.2.
Postupak
Rješavamo problem s aritmetičkim nizom:
$d_1 = d$, razlika niza $\Delta = 1.5$. Zadnji član $d_n = d + (n-1)1.5$.
Uvjet: $d_n = 1.6d$ (60% veći od najmanjeg).
Izjednačimo: $d + 1.5(n-1) = 1.6d \implies 1.5(n-1) = 0.6d \implies d = 2.5(n-1)$.
Prosjek: $\frac{d_1 + d_n}{2} = 26 \implies d_1 + d_n = 52$.
Uvrštavanje:
$d + 1.6d = 52 \implies 2.6d = 52 \implies d = 20$.
Vratimo $d$ u prvu jednadžbu:
$20 = 2.5(n-1) \implies n-1 = 8 \implies n=9$.
$d_1 = d$, razlika niza $\Delta = 1.5$. Zadnji član $d_n = d + (n-1)1.5$.
Uvjet: $d_n = 1.6d$ (60% veći od najmanjeg).
Izjednačimo: $d + 1.5(n-1) = 1.6d \implies 1.5(n-1) = 0.6d \implies d = 2.5(n-1)$.
Prosjek: $\frac{d_1 + d_n}{2} = 26 \implies d_1 + d_n = 52$.
Uvrštavanje:
$d + 1.6d = 52 \implies 2.6d = 52 \implies d = 20$.
Vratimo $d$ u prvu jednadžbu:
$20 = 2.5(n-1) \implies n-1 = 8 \implies n=9$.
Rješenje:
9