Matura Matematika A razina 2023. Ljetni rok – Zadatak 40

Unutar kvadrata svaki odašiljač pokriva četvrtinu kruga. Susjedni krugovi se preklapaju jer je $2\cdot 30>50$, a nasuprotni ne jer je $50\sqrt{2}>60$. Preklapanje se u zbroju četvrtina broji dvaput:
$P=50^2-4\cdot \frac{30^2\pi }{4}+4P_1$, gdje je $P_1$ dio preklapanja dvaju susjednih krugova unutar kvadrata.

Krugovi oko $K$ i $N$ sijeku se na simetrali stranice $\overline{KN}$. Pravokutni trokut s vrhovima $K$, polovištem stranice i sjecištem ima hipotenuzu $30$ i katetu $25$:
$\cos \alpha =\frac{25}{30}=\frac{5}{6}⟹\alpha \approx 33.56^{\circ }$
Druga kateta je $\sqrt{30^2-25^2}=5\sqrt{11}$.

Četvrtina preklapanja je isječak s kutom $\alpha$ bez tog trokuta:
$\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 900\pi -\frac{25\cdot 5\sqrt{11}}{2}\approx 263.56-207.29=56.27$
Unutar kvadrata su dvije takve četvrtine: $P_1\approx 112.54{\text{ km}}^2$.