Na otoku prikazanome na skici u vrhovima kvadrata $KLMN$$KLMN$ postavljena su četiri odašiljača. Stranica kvadrata duljine je $50$$50$ km, a domet svakoga odašiljača radijusa $30$$30$ km. Koliko iznosi površina otoka koja nije pokrivena signalom?

ZADATAK: Naći površinu kvadrata koja NIJE pokrivena signalom.

PODACI:
- Stranica kvadrata: $a = 50$$a = 50$ km
- Polumjer svakog odašiljača: $r = 30$$r = 30$ km
- 4 odašiljača u vrhovima kvadrata

KORAK 1 - Analiza pokrivenosti:
Svaki odašiljač pokriva četvrtinu kruga (kut $90°$$90°$) unutar kvadrata.
Susjedni krugovi se preklapaju jer je $2r = 60 > 50 = a$$2r = 60 > 50 = a$.

KORAK 2 - Formula za nepokrivenu površinu:
$P_{\text{nepokriveno}} = P_{\text{kvadrat}} - P_{\text{pokriveno}}$$P_{\text{nepokriveno}} = P_{\text{kvadrat}} - P_{\text{pokriveno}}$
$P_{\text{pokriveno}} = 4 \cdot P_{\text{četvrtine}} - 4 \cdot P_{\text{preklapanja}}$$P_{\text{pokriveno}} = 4 \cdot P_{\text{četvrtine}} - 4 \cdot P_{\text{preklapanja}}$

KORAK 3 - Geometrija preklapanja:
Dva susjedna kruga (polumjera 30 km, udaljenost središta 50 km) sijeku se u dvije točke.
Pola preklapanja je kružni odsječak.

U pravokutnom trokutu s vrhom u kutu kvadrata:
- Hipotenuza $= r = 30$$= r = 30$ km
- Jedna kateta $= \frac{a}{2} = 25$$= \frac{a}{2} = 25$ km (pola stranice)
- Druga kateta $= \sqrt{30^2 - 25^2} = \sqrt{275} = 5\sqrt{11}$$= \sqrt{30^2 - 25^2} = \sqrt{275} = 5\sqrt{11}$ km

KORAK 4 - Kut odsječka:
$\cos \alpha = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$$\cos \alpha = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$
$\alpha = \arccos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.56°$$\alpha = \arccos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.56°$

KORAK 5 - Površina odsječka:
Površina kružnog isječka: $P_{\text{isječak}} = \frac{1}{2}r^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot \arccos\left(\frac{5}{6}\right)$$P_{\text{isječak}} = \frac{1}{2}r^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot \arccos\left(\frac{5}{6}\right)$
Površina trokuta: $P_{\text{trokut}} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 5\sqrt{11} = \frac{125\sqrt{11}}{2}$$P_{\text{trokut}} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 5\sqrt{11} = \frac{125\sqrt{11}}{2}$
Površina odsječka: $P_{\text{odsječak}} = P_{\text{isječak}} - P_{\text{trokut}}$$P_{\text{odsječak}} = P_{\text{isječak}} - P_{\text{trokut}}$

KORAK 6 - Konačni izračun:
$P_{\text{nepokriveno}} = 50^2 - 4 \cdot \frac{\pi \cdot 30^2}{4} + 4 \cdot 2 \cdot P_{\text{odsječak}}$$P_{\text{nepokriveno}} = 50^2 - 4 \cdot \frac{\pi \cdot 30^2}{4} + 4 \cdot 2 \cdot P_{\text{odsječak}}$
$= 2500 - 900\pi + 8 \cdot P_{\text{odsječak}}$$= 2500 - 900\pi + 8 \cdot P_{\text{odsječak}}$
$\approx 2500 - 2827.43 + 450.15$$\approx 2500 - 2827.43 + 450.15$
$\approx 122.72~\text{km}^2$$\approx 122.72~\text{km}^2$