Duljina vektora $\vec{a}$ je $5$, duljina vektora $\vec{b}$ je $10$ i vrijedi $\vec{a}\cdot\vec{b}=25$.
33.1.
Koliko iznosi mjera kuta određenoga vektorima $\vec{a}$ i $\vec{b}$?
33.2.
Koliko iznosi $|\vec{a}-\vec{b}|$?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
33.1.
Postupak
Računamo kut između vektora pomoću skalarnog umnoška:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{25}{5 \cdot 10} = \frac{1}{2}$
$\alpha = \arccos(0.5) = 60^{\circ}$ ili $\frac{\pi}{3}$ radijana.
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{25}{5 \cdot 10} = \frac{1}{2}$
$\alpha = \arccos(0.5) = 60^{\circ}$ ili $\frac{\pi}{3}$ radijana.
Rješenje:
60°
33.2.
Postupak
Računamo duljinu razlike vektora $|\vec{a} - \vec{b}|$:
Kvadriramo izraz: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$= 5^2 + 10^2 - 2(25) = 25 + 100 - 50 = 75$
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
Kvadriramo izraz: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$= 5^2 + 10^2 - 2(25) = 25 + 100 - 50 = 75$
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
Rješenje:
$5\sqrt{3}$