Riješite zadatke.

Zadani su članovi geometrijskog niza: $x+2$$x+2$, $14$$14$, $6x-2$$6x-2$. Svojstvo geometrijskog niza je da je srednji član geometrijska sredina susjednih, odnosno $(x+2)(6x-2) = 14^2$$(x+2)(6x-2) = 14^2$. Rješavamo kvadratnu jednadžbu $6x^2 + 10x - 4 = 196$$6x^2 + 10x - 4 = 196$, odnosno $6x^2 + 10x - 200 = 0$$6x^2 + 10x - 200 = 0$. Rješenja su $x_1 = 5$$x_1 = 5$ i $x_2 = -\frac{20}{3}$$x_2 = -\frac{20}{3}$. Uvjet zadatka je da je niz rastući. Za $x=5$$x=5$ članovi su $7, 14, 28$$7, 14, 28$, što je rastući niz. Za drugo rješenje niz nije rastući. Dakle, $x=5$$x=5$. Količnik niza je $q = \frac{14}{7} = 2$$q = \frac{14}{7} = 2$. Sljedeći član niza je $28 \cdot 2 = 56$$28 \cdot 2 = 56$.
Odgovor: $56$$56$

Rješavamo trigonometrijsku jednadžbu $2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = -1$$2\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = -1$. Dijeljenjem s $2$$2$ dobivamo $\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$$\cos(3x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Kosinus je negativan u drugom i trećem kvadrantu, pa imamo dva osnovna skupa rješenja. Prvo: $3x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Drugo: $3x - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$3x - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (ili $\frac{4\pi}{3}$$\frac{4\pi}{3}$). Rješavanjem po $x$$x$ u prvom slučaju: $3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}$$3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}$. U drugom slučaju: $3x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$$3x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$.
Odgovor: $x=\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}, x=-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}$$x=\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}, x=-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}$