Koliko je oplošje pravilne četverostrane piramide kojoj je duljina osnovnoga brida $a$ jednaka visini piramide?
A
$a^2(1 + \sqrt{2})$
B
$a^2(1 + \sqrt{3})$
C
$a^2(1 + \sqrt{5})$
D
$a^2(1 + \sqrt{6})$
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
C
Postupak rješavanja
Promatramo pravilnu četverostranu piramidu s osnovnim bridom $a$ i visinom $h = a$ .
Kako bismo izračunali površinu pobočja, prvo moramo odrediti visinu pobočke $v$ koristeći Pitagorin poučak na karakterističnom pravokutnom trokutu: $v = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$ .
Površina pobočja $P$ sastoji se od četiri trokuta: $P = 4 \cdot \frac{a \cdot v}{2} = a^2\sqrt{5}$ .
Opložje $O$ je zbroj površine baze $B = a^2$ i pobočja $P$ , što iznosi $O = a^2 + a^2\sqrt{5} = a^2(1 + \sqrt{5})$ .
Odgovor: C
Kako bismo izračunali površinu pobočja, prvo moramo odrediti visinu pobočke $v$ koristeći Pitagorin poučak na karakterističnom pravokutnom trokutu: $v = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$ .
Površina pobočja $P$ sastoji se od četiri trokuta: $P = 4 \cdot \frac{a \cdot v}{2} = a^2\sqrt{5}$ .
Opložje $O$ je zbroj površine baze $B = a^2$ i pobočja $P$ , što iznosi $O = a^2 + a^2\sqrt{5} = a^2(1 + \sqrt{5})$ .
Odgovor: C