Zadaci s potencijama i kvadratnim jednadžbama.
25.1.
Napišite neku kvadratnu jednadžbu čija su rješenja različita i jedno je pet puta veće od drugoga.
25.2.
Zadan je broj $m=10^{k+2}$. Koliki je broj $k$ ako je $m=1000$?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
25.1.
Postupak
Koristimo Vièteove formule za nultočke $x_1 = m$ i $x_2 = 5m$ ($m \neq 0$):
Zbroj korijena: $x_1 + x_2 = 6m$.
Umnožak korijena: $x_1 \cdot x_2 = 5m^2$.
Opći oblik kvadratne jednadžbe s koeficijentom $a=1$ je $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 6mx + 5m^2 = 0$.
Odgovor: $x^2 - 6mx + 5m^2 = 0$
Zbroj korijena: $x_1 + x_2 = 6m$.
Umnožak korijena: $x_1 \cdot x_2 = 5m^2$.
Opći oblik kvadratne jednadžbe s koeficijentom $a=1$ je $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 6mx + 5m^2 = 0$.
Odgovor: $x^2 - 6mx + 5m^2 = 0$
Rješenje:
Priznaje se bilo koja jednadžba oblika $a(x^{2}-6mx+5m^{2})=0$
ili $a(x-m)(x-5m)=0$, $a\neq0, m\neq 0$.
Npr. $x^2-6x+5=0$
ili $a(x-m)(x-5m)=0$, $a\neq0, m\neq 0$.
Npr. $x^2-6x+5=0$
25.2.
Postupak
Eksponencijalnu jednadžbu rješavamo svođenjem na istu bazu:
$10^{k+2} = 1000 \Rightarrow 10^{k+2} = 10^3$.
Izjednačavanjem eksponenata dobivamo $k + 2 = 3 \Rightarrow k = 1$.
Odgovor: 1
$10^{k+2} = 1000 \Rightarrow 10^{k+2} = 10^3$.
Izjednačavanjem eksponenata dobivamo $k + 2 = 3 \Rightarrow k = 1$.
Odgovor: 1
Rješenje:
$1$