Kompleksni broj $z=2\cos(\frac{\pi}{4})+2i\sin(\frac{3\pi}{4})$ zapišite u trigonometrijskome obliku.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$
Postupak rješavanja
Kompleksni broj zadan je kao $z = 2\cos(\frac{\pi}{4}) + 2i\sin(\frac{3\pi}{4})$.
Uočimo da argumenti nisu isti. Računamo vrijednost:
$z = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$.
Za zapis u trigonometrijskom obliku $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ trebamo modul $r$ i argument $\varphi$.
$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = 2$.
$\tan \varphi = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$. Kako je točka u I. kvadrantu, $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
Trigonometrijski oblik: $z = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
Odgovor: $2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$
Uočimo da argumenti nisu isti. Računamo vrijednost:
$z = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$.
Za zapis u trigonometrijskom obliku $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ trebamo modul $r$ i argument $\varphi$.
$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = 2$.
$\tan \varphi = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$. Kako je točka u I. kvadrantu, $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
Trigonometrijski oblik: $z = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
Odgovor: $2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$