Zadana je racionalna funkcija f(x)=(ax)/(bx+8). Izračunajte realne brojeve a i b ako je slika funkcije f skup ℝ ∖ {5}. Funkcija f je rastuća na čitavome svojem području definicije i vrijedi f'(20)=(b)

Question

Accepted Answer

Odgovor: a=3, b=0.6

Postupak rješavanja:
1. Deriviraj funkciju:
f'(x) = (a(bx + 8) - ax · b)/((bx + 8)^2) = (8a)/((bx + 8)^2)
2. Iskoristi sliku i rast funkcije:
Izrazi x iz y = (ax)/(bx + 8): x = (-8y)/(by - a). To nije definirano samo za y = (a)/(b), pa je to jedina vrijednost koju funkcija ne poprima:
(a)/(b) = 5 ⇒ a = 5b
Funkcija raste, pa je f'(x) > 0, odnosno a > 0.
3. Riješi sustav:
Uvrsti a = 5b u f'(20) = (b)/(10):
(40b)/((20b + 8)^2) = (b)/(10) ⇒ (20b + 8)^2 = 400 ⇒ 20b + 8 = ± 20
b = (3)/(5) ili b = -(7)/(5)
4. Odaberi rješenje:
Za b = -(7)/(5) bilo bi a = -7 < 0 i funkcija bi padala. Zato je b = (3)/(5) = 0.6 i a = 5b = 3.
Odgovor: a = 3, b = 0.6

Matura Matematika A razina 2024. Ljetni rok – Zadatak 40