Zadana je racionalna funkcija $f(x)=\frac{ax}{bx+8}$. Izračunajte realne brojeve $a$ i $b$ ako je slika funkcije $f$ skup $\mathbf{R} \setminus \left\{5\right\}$. Funkcija $f$ je rastuća na čitavome svojem području definicije i vrijedi $f'(20)=\frac{b}{10}$.
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
Točan odgovor
$a=3, b=0.6$
Postupak rješavanja
Određujemo inverz funkcije $f(x) = y = \frac{ax}{bx+8}$:
$y(bx+8) = ax \implies bxy + 8y = ax \implies x(by-a) = -8y$
$x = f^{-1}(y) = \frac{-8y}{by-a}$
Inverz nije definiran za $y=5$, pa nazivnik mora biti $0$ za tu vrijednost:
$5b - a = 0 \implies a = 5b$
Deriviramo funkciju $f(x)$ pomoću pravila za kvocijent:
$f'(x) = \frac{(ax)'(bx+8) - (ax)(bx+8)'}{(bx+8)^2} = \frac{a(bx+8) - ax \cdot b}{(bx+8)^2} = \frac{8a}{(bx+8)^2}$
Kako je $f$ rastuća, mora vrijediti $f'(x) > 0 \implies a > 0$ (pa slijedi i $b>0$).
Koristimo zadani uvjet $f'(20) = \frac{b}{10}$ i uvrštavamo $a=5b$:
$\frac{8(5b)}{(20b+8)^2} = \frac{b}{10}$
$\frac{40b}{(20b+8)^2} = \frac{b}{10} \quad /:b \quad (b \neq 0)$
$\frac{40}{(20b+8)^2} = \frac{1}{10} \implies (20b+8)^2 = 400$
Korjenujemo (uzimamo pozitivno rješenje jer $b>0$):
$20b + 8 = 20 \implies 20b = 12 \implies b = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$
Računamo koeficijent $a$:
$a = 5b = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$
Odgovor: $a=3, b=0.6$
$y(bx+8) = ax \implies bxy + 8y = ax \implies x(by-a) = -8y$
$x = f^{-1}(y) = \frac{-8y}{by-a}$
Inverz nije definiran za $y=5$, pa nazivnik mora biti $0$ za tu vrijednost:
$5b - a = 0 \implies a = 5b$
Deriviramo funkciju $f(x)$ pomoću pravila za kvocijent:
$f'(x) = \frac{(ax)'(bx+8) - (ax)(bx+8)'}{(bx+8)^2} = \frac{a(bx+8) - ax \cdot b}{(bx+8)^2} = \frac{8a}{(bx+8)^2}$
Kako je $f$ rastuća, mora vrijediti $f'(x) > 0 \implies a > 0$ (pa slijedi i $b>0$).
Koristimo zadani uvjet $f'(20) = \frac{b}{10}$ i uvrštavamo $a=5b$:
$\frac{8(5b)}{(20b+8)^2} = \frac{b}{10}$
$\frac{40b}{(20b+8)^2} = \frac{b}{10} \quad /:b \quad (b \neq 0)$
$\frac{40}{(20b+8)^2} = \frac{1}{10} \implies (20b+8)^2 = 400$
Korjenujemo (uzimamo pozitivno rješenje jer $b>0$):
$20b + 8 = 20 \implies 20b = 12 \implies b = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$
Računamo koeficijent $a$:
$a = 5b = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$
Odgovor: $a=3, b=0.6$