Riješite zadatke.

Zadan je aritmetički niz s $a_1 = 24$$a_1 = 24$. Članovi $a_1, a_{19}, a_{31}$$a_1, a_{19}, a_{31}$ čine geometrijski niz.
1. Izrazimo članove aritmetičkog niza: $a_{19} = 24 + 18d$$a_{19} = 24 + 18d$, $a_{31} = 24 + 30d$$a_{31} = 24 + 30d$.
2. Svojstvo geometrijskog niza (srednji član je geometrijska sredina): $(a_{19})^2 = a_1 \cdot a_{31}$$(a_{19})^2 = a_1 \cdot a_{31}$.
$(24+18d)^2 = 24(24+30d)$$(24+18d)^2 = 24(24+30d)$
Rješavanjem ove kvadratne jednadžbe uz uvjet da je niz padajući ($d<0$$d<0$) dobivamo $d = -\frac{4}{9}$$d = -\frac{4}{9}$.
3. Traženi 10. član aritmetičkog niza:
$a_{10} = 24 + 9d = 24 + 9(-\frac{4}{9}) = 24 - 4 = 20$$a_{10} = 24 + 9d = 24 + 9(-\frac{4}{9}) = 24 - 4 = 20$.
Odgovor: 20

Određujemo parametre funkcije $f(x) = A \cos(Bx) + D$$f(x) = A \cos(Bx) + D$ iz grafa.
1. Očitamo ekstremne vrijednosti: $y_{max} = 2$$y_{max} = 2$, $y_{min} = -6$$y_{min} = -6$.
2. Amplituda $A = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = 4$$A = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = 4$. Pomak $D = \frac{y_{max} + y_{min}}{2} = -2$$D = \frac{y_{max} + y_{min}}{2} = -2$.
3. Period: Sa slike vidimo da je polovina perioda $\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{3}$, pa je $T = \frac{2\pi}{3}$$T = \frac{2\pi}{3}$.
Frekvencija $B = \frac{2\pi}{T} = 3$$B = \frac{2\pi}{T} = 3$.
Funkcija je $f(x) = 4\cos(3x) - 2$$f(x) = 4\cos(3x) - 2$. Tražimo nultočke ($f(x)=0$$f(x)=0$):
$4\cos(3x) = 2 \Rightarrow \cos(3x) = \frac{1}{2}$$4\cos(3x) = 2 \Rightarrow \cos(3x) = \frac{1}{2}$.
$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad /:3$$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad /:3$
$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Odgovor: $x \in \{\pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} : k \in \mathbb{Z} \}$$x \in \{\pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} : k \in \mathbb{Z} \}$