Baza je piramide jednakokračni trokut s osnovicom duljine 10 cm. Težišnica na krak toga trokuta iznosi 12 cm. Sve bočne strane piramide s ravninom osnovke zatvaraju kut od 62°. Koliko iznosi volumen t

Question

Accepted Answer

Odgovor: 225.54 cm^3

Postupak rješavanja:
1. Izračunaj stranice baze:
Osnovica je a = 10 cm, a krakovi b. Za težišnicu na krak vrijedi 4t b^2 = 2a^2 + 2b^2 - b^2 = 2a^2 + b^2:
4 · 144 = 200 + b^2 ⇒ b^2 = 376 ⇒ b = √(376) ≈ 19.39 cm
2. Izračunaj polumjer upisane kružnice:
Visina na osnovicu je v a = √(376 - 25) = 3√(39), pa je površina baze B = (10 · 3√(39))/(2) = 15√(39). Poluopseg je s = 5 + √(376):
r = (B)/(s) = (15√(39))/(5 + √(376)) ≈ 3.841 cm
3. Poveži visinu piramide i polumjer:
Sve bočne strane su jednako nagnute, pa je nožište visine središte upisane kružnice. U pravokutnom trokutu s katetama r i h kut uz r iznosi 62°:
h = r tan 62° ≈ 7.223 cm
4. Izračunaj volumen:
V = (1)/(3)Bh = (1)/(3) · 15√(39) · r tan 62° ≈ 225.54 cm^3
Odgovor: V ≈ 225.54 cm^3

Matura Matematika A razina 2023. Jesenski rok – Zadatak 40