Zadana je funkcija $f(x)=2x^{3}-15x^{2}$$f(x)=2x^{3}-15x^{2}$.

Tražimo lokalni minimum funkcije $f(x) = 2x^3 - 15x^2$$f(x) = 2x^3 - 15x^2$.
1. Prva derivacija: $f'(x) = 6x^2 - 30x$$f'(x) = 6x^2 - 30x$.
2. Stacionarne točke ($f'(x)=0$$f'(x)=0$): $6x(x-5) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=5$$6x(x-5) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=5$.
3. Druga derivacija: $f''(x) = 12x - 30$$f''(x) = 12x - 30$.
4. Provjera karaktera ekstrema:
$f''(0) = -30 < 0$$f''(0) = -30 < 0$ (maksimum)
$f''(5) = 12(5) - 30 = 30 > 0$$f''(5) = 12(5) - 30 = 30 > 0$ (minimum)
Minimum se postiže za $x=5$$x=5$. Vrijednost funkcije je:
$f(5) = 2(5)^3 - 15(5)^2 = 250 - 375 = -125$$f(5) = 2(5)^3 - 15(5)^2 = 250 - 375 = -125$.
Odgovor: -125 (za x=5)

Nagib tangente na graf funkcije u točki s apscisom $x_0$$x_0$ jednak je vrijednosti prve derivacije u toj točki.
Funkcija derivacije je $f'(x) = 6x^2 - 30x$$f'(x) = 6x^2 - 30x$.
Za $x_0 = -1$$x_0 = -1$: $k = f'(-1) = 6(-1)^2 - 30(-1) = 6 + 30 = 36$$k = f'(-1) = 6(-1)^2 - 30(-1) = 6 + 30 = 36$.
Odgovor: 36