Iz debla u obliku valjka dobije se greda u obliku uspravne prizme tako da se promjer AC kružnoga presjeka debla točkama E i F podijeli na tri jednaka dijela. Okomice na promjer AC djelišnim točkama E

Question

Accepted Answer

Odgovor: ≈ 40%

Postupak rješavanja:
1. Skiciraj presjek:
Neka je r polumjer debla i O središte presjeka. Točke E i F dijele promjer AC na tri dijela duljine (2r)/(3), a B i D su s različitih strana promjera.
(Slika: Kružnica sa središtem O i promjerom AC. Točke E i F dijele promjer na tri jednaka dijela, a okomice u njima sijeku kružnicu u B iznad i D ispod promjera. Četverokut ABCD je osjenčan, a E je od O udaljen r/3.)
2. Izrazi visinu preko promjera:
Točka E je od središta udaljena r - (2r)/(3) = (r)/(3). Iz pravokutnog trokuta OEB:
|BE|^2 = r^2 - ((r)/(3))^2 = (8r^2)/(9) ⇒ |BE| = (2r√(2))/(3)
Jednako je |DF| = (2r√(2))/(3).
3. Usporedi površine:
P ABCD = P ABC + P ACD = (1)/(2) · 2r · (|BE| + |DF|) = (4r^2√(2))/(3)
Greda i deblo jednako su dugi, pa je omjer volumena jednak omjeru površina presjeka:
(P ABCD)/(r^2 π ) = (4√(2))/(3 π ) ≈ 0.6002
4. Izračunaj otpad:
1 - (4√(2))/(3 π ) ≈ 1 - 0.6002 = 0.3998 ≈ 40%
Odgovor: ≈ 40%

Matura Matematika A razina 2022. Ljetni rok – Zadatak 40