Koji je od navedenih brojeva jednak broju $\frac{9^{-2} \cdot 243^{a}}{3^{a}}$$\frac{9^{-2} \cdot 243^{a}}{3^{a}}$ za svaki realni broj $a$$a$?

Zadani izraz sadrži potencije s različitim bazama, pa ih prvo svodimo na zajedničku bazu, u ovom slučaju bazu $3$$3$ ili baze potencija broja $3$$3$ (poput $9$$9$ i $81$$81$).
Promotrimo izraz: $\frac{9^{-2} \cdot 243^{a}}{3^{a}}$$\frac{9^{-2} \cdot 243^{a}}{3^{a}}$.
Znamo da je $9 = 3^2$$9 = 3^2$ i $243 = 3^5$$243 = 3^5$.
Alternativno, možemo grupirati eksponente: $9^{-2} \cdot (\frac{243}{3})^a$$9^{-2} \cdot (\frac{243}{3})^a$.
Kako je $243 : 3 = 81$$243 : 3 = 81$, izraz postaje $\frac{1}{9^2} \cdot 81^a$$\frac{1}{9^2} \cdot 81^a$.
Budući da je $9^2 = 81$$9^2 = 81$, imamo $\frac{1}{81} \cdot 81^a$$\frac{1}{81} \cdot 81^a$, što možemo zapisati kao $81^{-1} \cdot 81^a$$81^{-1} \cdot 81^a$.
Primjenom pravila za množenje potencija iste baze zbrajamo eksponente: $81^{a-1}$$81^{a-1}$.
Odgovor: D