Matura Matematika A razina 2022. Jesenski rok – Zadatak 39

Dijagonala dijeli zemljište na dva trokuta. Prvi ima stranice $210$ m i $150$ m s kutom $58^{\circ }44^{\prime }$ između njih:
$P_1=\frac{1}{2}\cdot 210\cdot 150\cdot \sin 58^{\circ }44^{\prime }\approx 13462.48{\text{ m}}^2$

Dijagonala je nasuprot tom kutu, pa po poučku o kosinusu:
$d^2=210^2+150^2-2\cdot 210\cdot 150\cos 58^{\circ }44^{\prime }\approx 33901.62⟹d\approx 184.12\text{ m}$

Drugi trokut ima stranice $125$ m i $x$ s kutom $63^{\circ }25^{\prime }$ između njih, a nasuprot je dijagonala:
$d^2=125^2+x^2-2\cdot 125\cdot x\cos 63^{\circ }25^{\prime }$
$x^2-111.87x-18276.62=0⟹x\approx 202.24\text{ m}$ (pozitivno rješenje)

$f(x)=(k-3)x^2-3x+k$. Za $k=3$ funkcija je linearna i nije uvijek negativna. Kvadratna funkcija je uvijek negativna ako je vodeći koeficijent negativan i diskriminanta negativna:
$k-3<0\text{i}D=9-4k(k-3)<0$

$9-4k^2+12k<0⟹4k^2-12k-9>0$
Nultočke su $k=\frac{12\pm \sqrt{144+144}}{8}=\frac{3\pm 3\sqrt{2}}{2}$, pa je $k<\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$ ili $k>\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$.

$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}\approx 3.62$ veće je od $3$, pa uz $k<3$ ostaje samo $k<\frac{3-3\sqrt{2}}{2}\approx -0.62$.