Riješite zadatke.
38.1.
Zadana je funkcija $f(x)=x-\sqrt{9+(x+7)\sqrt{x(x+2)+1}}$. Koliko je $f(2^{1500})$?
38.2.
Jakov je slagao kockice različitih veličina jednu na drugu od najveće do najmanje. Duljina je brida najveće kockice $6.5$ cm. Svakoj sljedećoj kockici brid je za $0.5$ cm kraći od brida prethodne kockice. Volumen je najmanje kockice $0.125\text{ cm}^{3}$. Koliko je kockica Jakov ukupno složio?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
38.1.
Postupak
Pojednostavljujemo funkciju prije uvrštavanja.
$f(x) = x - \sqrt{9 + (x+7)\sqrt{(x+1)^2}}$.
Za $x>0$, $\sqrt{(x+1)^2} = x+1$.
Pod korijenom: $9 + (x+7)(x+1) = 9 + x^2 + 8x + 7 = x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
$f(x) = x - (x+4) = -4$.
Vrijednost je konstantna za sve zadane $x$.
Odgovor: -4
$f(x) = x - \sqrt{9 + (x+7)\sqrt{(x+1)^2}}$.
Za $x>0$, $\sqrt{(x+1)^2} = x+1$.
Pod korijenom: $9 + (x+7)(x+1) = 9 + x^2 + 8x + 7 = x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
$f(x) = x - (x+4) = -4$.
Vrijednost je konstantna za sve zadane $x$.
Odgovor: -4
Rješenje:
$-4$
38.2.
Postupak
Najprije odredimo brid najmanje kockice iz njezina volumena :
$a^3 = 0.125 \implies a = \sqrt[3]{0.125} = 0.5$ cm.
Bridovi kockica tvore aritmetički niz s prvim članom $a_1 = 6.5$ cm, razlikom $d = -0.5$ cm i posljednjim članom $a_n = 0.5$ cm.
Iz formule za opći član: $a_n = a_1 + (n-1)d$
$0.5 = 6.5 + (n-1)(-0.5)$
$-6 = -0.5(n-1) \implies n-1 = 12 \implies n = 13$.
Odgovor: 13
$a^3 = 0.125 \implies a = \sqrt[3]{0.125} = 0.5$ cm.
Bridovi kockica tvore aritmetički niz s prvim članom $a_1 = 6.5$ cm, razlikom $d = -0.5$ cm i posljednjim članom $a_n = 0.5$ cm.
Iz formule za opći član: $a_n = a_1 + (n-1)d$
$0.5 = 6.5 + (n-1)(-0.5)$
$-6 = -0.5(n-1) \implies n-1 = 12 \implies n = 13$.
Odgovor: 13
Rješenje:
$13$