Pravac prolazi točkom T(8,16) i s pozitivnim dijelovima koordinatnih osi određuje trokut maksimalne moguće površine. Kolika je mjera kuta koji pravac zatvara s osi ordinata?

Question

Accepted Answer

Odgovor: Mjera kuta ne može se odrediti jer trokut maksimalne površine ne postoji. 26°33^(′)54^(′ ′) (za trokut minimalne površine)

Postupak rješavanja:
1. Zapiši pravac u segmentnom obliku:
(x)/(m) + (y)/(n) = 1, uz m, n > 0. Točka T(8, 16) je na pravcu:
(8)/(m) + (16)/(n) = 1 ⇒ n = (16m)/(m - 8), m > 8
2. Postavi funkciju površine:
P(m) = (mn)/(2) = (8m^2)/(m - 8), m > 8
3. Ispitaj ima li maksimum:
Kad m teži prema 8 ili raste u beskonačnost, P(m) raste u beskonačnost, pa trokut najveće površine ne postoji.
P'(m) = (8m(m - 16))/((m - 8)^2) = 0 ⇒ m = 16, i to je minimum.
4. Izračunaj kut za najmanju površinu:
Za m = 16 je n = 32. U trokutu s katetama m i n kut uz os y ima tangens (m)/(n):
tan α = (16)/(32) = (1)/(2) ⇒ α ≈ 26°33'54''
Odgovor: Trokut najveće površine ne postoji, pa se kut ne može odrediti. Za trokut najmanje površine kut je ≈ 26°33'54''.

Matura Matematika A razina 2022. Jesenski rok – Zadatak 40