Riješite zadatke.
29.1.
Odredite koordinate dirališta tangenata s koeficijentom smjera $-5$ na graf funkcije $f(x) = x^{3} + 6x^{2} - 5x + 2$.
29.2.
Zadane su funkcije $f(x) = 5^{x+3}$ i $g(x) = x - 8$. Riješite jednadžbu $(f \circ g)(x) = 0.04$.
29.3.
Težištem trokuta $ABC$ povučena je paralela sa stranicom $\overline{AB}$ koja siječe stranice $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ u točkama $A_{1}$ i $B_{1}$. Težištem trokuta $A_{1}B_{1}C$ povučena je paralela sa stranicom $\overline{AB}$ koja siječe stranice $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ u točkama $A_{2}$ i $B_{2}$ itd. kao što je prikazano na skici. Zbroj duljina svih beskonačno mnogo težišnica iz vrha $C$ trokuta $ABC$, $A_{1}B_{1}C$, $A_{2}B_{2}C$ itd. iznosi $501 \text{ cm}$. Izračunajte duljinu težišnice iz vrha $C$ u trokutu $ABC$.
29.4.
Od žice duljine $120 \text{ cm}$ napravljen je model kvadrata i model pravokutnika kojemu je jedna stranica trostruko dulja od druge. Kolika treba biti duljina stranice kvadrata da bi zbroj površina tih likova bio minimalan?
29.5.
U dvjema se posudama nalazi morska voda različitih slanosti (saliniteta). U prvoj je posudi $6$ litara morske vode slanosti $3\%$, a u drugoj $18$ litara morske vode slanosti $2\%$. Iz obiju se posuda uzme ista količina vode te se voda uzeta iz prve posude prelije u drugu posudu, a voda uzeta iz druge posude prelije se u prvu posudu. Tada će u objema posudama morska voda biti iste slanosti. Koliko je litara vode uzeto iz svake posude?
Rješenje
Rješenje je skriveno. Klikni gumb iznad za prikaz.
29.1.
Postupak
Rješavamo jednadžbu $f'(x) = -5$ kako bismo odredili apscise dirališta :
$3 \cdot x^{2} + 12 \cdot x - 5 = -5 \implies 3 \cdot x \cdot (x + 4) = 0$
Točke su $T_{1}(0, f(0)) = (0, 2)$ i $T_{2}(-4, f(-4)) = (-4, 54)$.
Odgovor: $(0, 2), (-4, 54)$
$3 \cdot x^{2} + 12 \cdot x - 5 = -5 \implies 3 \cdot x \cdot (x + 4) = 0$
Točke su $T_{1}(0, f(0)) = (0, 2)$ i $T_{2}(-4, f(-4)) = (-4, 54)$.
Odgovor: $(0, 2), (-4, 54)$
Rješenje:
$(-4, 54), (0, 2)$
29.2.
Postupak
Odredimo kompoziciju funkcija: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 8) = 5^{(x - 8) + 3} = 5^{x - 5}$
Prepoznamo desnu stranu: $0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$
Postavljamo eksponencijalnu jednadžbu :
$5^{x - 5} = 5^{-2} \implies x - 5 = -2 \implies x = 3$
Odgovor: 3
Prepoznamo desnu stranu: $0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$
Postavljamo eksponencijalnu jednadžbu :
$5^{x - 5} = 5^{-2} \implies x - 5 = -2 \implies x = 3$
Odgovor: 3
Rješenje:
$x = 3$
29.3.
Postupak
Težišnica iz vrha $C$ u trokutu $ABC$ spušta se na stranicu $\overline{AB}$. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru $2:1$ od vrha, pa paralela kroz težište presijeca stranice na $\frac{2}{3}$ udaljenosti od vrha $C$.
Trokut $A_{1}B_{1}C$ je sličan trokutu $ABC$ s koeficijentom $k = \frac{2}{3}$, pa je i težišnica iz $C$ u tom trokutu $\frac{2}{3}$ duljine prethodne.
Duljine težišnica čine beskonačni geometrijski niz s količnikom $q = \frac{2}{3}$ .
Zbroj beskonačnoga geometrijskog reda :
$S = \frac{t_{1}}{1 - q} = \frac{t_{1}}{1 - \frac{2}{3}} = 3 \cdot t_{1} = 501$
$t_{1} = 167\text{ cm}$
Odgovor: 167
Trokut $A_{1}B_{1}C$ je sličan trokutu $ABC$ s koeficijentom $k = \frac{2}{3}$, pa je i težišnica iz $C$ u tom trokutu $\frac{2}{3}$ duljine prethodne.
Duljine težišnica čine beskonačni geometrijski niz s količnikom $q = \frac{2}{3}$ .
Zbroj beskonačnoga geometrijskog reda :
$S = \frac{t_{1}}{1 - q} = \frac{t_{1}}{1 - \frac{2}{3}} = 3 \cdot t_{1} = 501$
$t_{1} = 167\text{ cm}$
Odgovor: 167
Rješenje:
$167$ cm
29.4.
Postupak
Neka je $a$ duljina stranice kvadrata, a $b$ kraća stranica pravokutnika (dulja je $3b$).
Opsezi: $O_{\square} = 4a$, $O_{\text{prav}} = 2(b + 3b) = 8b$. Ukupna duljina žice :
$4a + 8b = 120 \implies b = \frac{30 - a}{2}$ (1. korak — veza opsega i duljine žice)
Zbroj površina izrazimo kao funkciju jedne varijable :
$P(a) = a^{2} + b \cdot 3b = a^{2} + 3 \cdot \left(\frac{30-a}{2}\right)^{2} = a^{2} + \frac{3(30-a)^{2}}{4}$
$P(a) = a^{2} + \frac{3(900 - 60a + a^{2})}{4} = \frac{7}{4}a^{2} - 45a + 675$ (2. korak)
Minimum kvadratne funkcije ($a > 0$, $\frac{7}{4} > 0$) nalazi se u tjemenu :
$a_{\min} = -\frac{-45}{2 \cdot \frac{7}{4}} = \frac{45}{\frac{7}{2}} = \frac{90}{7} \approx 12.86\text{ cm}$ (3. korak)
Odgovor: $\frac{90}{7}$
Opsezi: $O_{\square} = 4a$, $O_{\text{prav}} = 2(b + 3b) = 8b$. Ukupna duljina žice :
$4a + 8b = 120 \implies b = \frac{30 - a}{2}$ (1. korak — veza opsega i duljine žice)
Zbroj površina izrazimo kao funkciju jedne varijable :
$P(a) = a^{2} + b \cdot 3b = a^{2} + 3 \cdot \left(\frac{30-a}{2}\right)^{2} = a^{2} + \frac{3(30-a)^{2}}{4}$
$P(a) = a^{2} + \frac{3(900 - 60a + a^{2})}{4} = \frac{7}{4}a^{2} - 45a + 675$ (2. korak)
Minimum kvadratne funkcije ($a > 0$, $\frac{7}{4} > 0$) nalazi se u tjemenu :
$a_{\min} = -\frac{-45}{2 \cdot \frac{7}{4}} = \frac{45}{\frac{7}{2}} = \frac{90}{7} \approx 12.86\text{ cm}$ (3. korak)
Odgovor: $\frac{90}{7}$
Rješenje:
$\frac{90}{7}$ cm
29.5.
Postupak
Neka je $x$ litara vode uzeto iz svake posude.
1. korak — količina soli nakon prelijevanja :
U 1. posudi ostaje $(6 - x)$ L vode slanosti $3\%$ i dolazi $x$ L vode slanosti $2\%$ :
$s_{1} = (6 - x) \cdot 0.03 + x \cdot 0.02 = 0.18 - 0.01x$
U 2. posudi ostaje $(18 - x)$ L vode slanosti $2\%$ i dolazi $x$ L vode slanosti $3\%$ :
$s_{2} = (18 - x) \cdot 0.02 + x \cdot 0.03 = 0.36 + 0.01x$
2. korak — izjednačavanje slanosti :
Volumeni posuda ostaju nepromijenjeni ($6$ L i $18$ L), pa izjednačavamo koncentracije :
$\frac{s_{1}}{6} = \frac{s_{2}}{18}$
$\frac{0.18 - 0.01x}{6} = \frac{0.36 + 0.01x}{18}$
3. korak — rješavanje jednadžbe :
$3(0.18 - 0.01x) = 0.36 + 0.01x$
$0.54 - 0.03x = 0.36 + 0.01x$
$0.18 = 0.04x \implies x = 4.5\text{ L}$
Odgovor: 4.5
1. korak — količina soli nakon prelijevanja :
U 1. posudi ostaje $(6 - x)$ L vode slanosti $3\%$ i dolazi $x$ L vode slanosti $2\%$ :
$s_{1} = (6 - x) \cdot 0.03 + x \cdot 0.02 = 0.18 - 0.01x$
U 2. posudi ostaje $(18 - x)$ L vode slanosti $2\%$ i dolazi $x$ L vode slanosti $3\%$ :
$s_{2} = (18 - x) \cdot 0.02 + x \cdot 0.03 = 0.36 + 0.01x$
2. korak — izjednačavanje slanosti :
Volumeni posuda ostaju nepromijenjeni ($6$ L i $18$ L), pa izjednačavamo koncentracije :
$\frac{s_{1}}{6} = \frac{s_{2}}{18}$
$\frac{0.18 - 0.01x}{6} = \frac{0.36 + 0.01x}{18}$
3. korak — rješavanje jednadžbe :
$3(0.18 - 0.01x) = 0.36 + 0.01x$
$0.54 - 0.03x = 0.36 + 0.01x$
$0.18 = 0.04x \implies x = 4.5\text{ L}$
Odgovor: 4.5
Rješenje:
$4.5$ L