Riješite nejednadžbu:
$$\frac{[7!(n+1)!]^{2} - 7!8!n!(n+1)! - 2\cdot(8!n!)^{2}}{[7!(n+1)!]^{2} - (8!n!)^{2}} < 0$$$\frac{[7!(n+1)!]^{2} - 7!8!n!(n+1)! - 2\cdot(8!n!)^{2}}{[7!(n+1)!]^{2} - (8!n!)^{2}} < 0$

Uvedemo supstituciju $A = 7!(n+1)!$$A = 7!(n+1)!$ i $B = 8!n!$$B = 8!n!$ radi preglednosti. Uočimo da je $\frac{A}{B} = \frac{7!(n+1)!}{8!n!} = \frac{(n+1)}{8}$$\frac{A}{B} = \frac{7!(n+1)!}{8!n!} = \frac{(n+1)}{8}$ .

1. korak — faktorizacija :
Brojnik: $A^{2} - AB - 2B^{2} = (A - 2B)(A + B)$$A^{2} - AB - 2B^{2} = (A - 2B)(A + B)$
Nazivnik: $A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B)$$A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B)$

2. korak — kraćenje :
$\frac{(A - 2B)(A + B)}{(A - B)(A + B)} = \frac{A - 2B}{A - B}$$\frac{(A - 2B)(A + B)}{(A - B)(A + B)} = \frac{A - 2B}{A - B}$
Dijelimo brojnik i nazivnik s $B$$B$ i koristimo $\frac{A}{B} = \frac{n+1}{8}$$\frac{A}{B} = \frac{n+1}{8}$ :
$\frac{\frac{n+1}{8} - 2}{\frac{n+1}{8} - 1} = \frac{n + 1 - 16}{n + 1 - 8} = \frac{n - 15}{n - 7}$$\frac{\frac{n+1}{8} - 2}{\frac{n+1}{8} - 1} = \frac{n + 1 - 16}{n + 1 - 8} = \frac{n - 15}{n - 7}$

3. korak — rješavanje nejednadžbe :
$\frac{n - 15}{n - 7} < 0$$\frac{n - 15}{n - 7} < 0$
Razlomak je negativan kad su brojnik i nazivnik različitog predznaka.
Nultočke: $n = 7$$n = 7$ i $n = 15$$n = 15$. Tablica predznaka daje rješenje $n \in (7, 15)$$n \in (7, 15)$.

4. korak — prirodni brojevi :
$n \in \{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$$n \in \{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$
Odgovor: $\{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$$\{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$