Riješite zadatke.

Question

Riješite zadatke.

Accepted Answer

29.1. Odgovor: a = 1, b = 3
Postupak: 1. Podijeli s i:
Kako je (1)/(i) = -i:
(a + (b - 2)i)/(i) = -i (a + (b - 2)i ) = (b - 2) - ai
2. Izjednači realne i imaginarne dijelove:
Lijeva strana je (b - 2) - ai + b - ai = (2b - 2) - 2ai, pa iz (2b - 2) - 2ai = 4 - 2i:
2b - 2 = 4 ⇒ b = 3, -2a = -2 ⇒ a = 1
Odgovor: a = 1, b = 3

29.2. Odgovor: x = (13)/(2), y = (3)/(2)
Postupak: 1. Ukloni logaritme:
1 + log 4 = log 10 + log 4 = log 40, pa je
log (x^2 - y^2) = log 40 ⇒ x^2 - y^2 = 40
2. Iskoristi drugu jednadžbu:
(x - y)(x + y) = 40 i x + y = 8, pa je x - y = 5.
Zbrajanjem i oduzimanjem: x = (13)/(2), y = (3)/(2). Tada je x^2 - y^2 = 40 > 0, pa je logaritam definiran.
Odgovor: x = (13)/(2), y = (3)/(2)

29.3. Odgovor: 138.19159 … cm^2
Postupak: 1. Izračunaj površinu isječka:
Središnji kut nad tetivom dvostruko je veći od obodnog: 2 · 60° = 120°. Manji odsječak pripada tom kutu.
P i = (15^2 π · 120°)/(360°) = 75 π
2. Oduzmi površinu trokuta:
Trokut sa središtem i krajevima tetive ima krakove 15 cm i kut 120°:
P t = (1)/(2) · 15 · 15 · sin 120° = (225√(3))/(4)
P = 75 π - (225√(3))/(4) ≈ 138.19 cm^2
Odgovor: ≈ 138.19 cm^2

29.4. Odgovor: (8, -3)
Postupak: 1. Napiši okomicu kroz C:
Zadani pravac ima nagib (1)/(2), pa okomica ima nagib -2:
y - 9 = -2(x - 2) ⇒ y = -2x + 13
2. Odredi sjecište pravaca:
(1)/(2)x + (1)/(2) = -2x + 13 ⇒ (5)/(2)x = (25)/(2) ⇒ x = 5, y = 3
Sjecište S(5, 3) je polovište dužine CC'.
3. Iskoristi polovište:
x C' = 2 · 5 - 2 = 8, y C' = 2 · 3 - 9 = -3
Odgovor: (8, -3)

29.5. Odgovor: x = 1.328 … + k π , k ∈ ℤ
Postupak: 1. Primijeni adicijski teorem:
sin ((5 π )/(6) - x) = sin (5 π )/(6) cos x - cos (5 π )/(6) sin x = (1)/(2) cos x + (√(3))/(2) sin x
2. Svedi na tangens:
4 cos x = (1)/(2) cos x + (√(3))/(2) sin x ⇒ (7)/(2) cos x = (√(3))/(2) sin x
Za cos x = 0 bilo bi i sin x = 0, a to nije moguće, pa smiješ podijeliti s cos x:
tan x = (7)/(√(3))
3. Riješi jednadžbu:
Tangens ima period π:
x = arctan (7)/(√(3)) + k π ≈ 1.328 + k π , k ∈ ℤ
Odgovor: x = arctan (7)/(√(3)) + k π ≈ 1.328 + k π, k ∈ ℤ

Matura Matematika A razina 2021. Jesenski rok – Zadatak 29