Riješite zadatke.

Razlomak pojednostavljujemo prosirenjem s imaginarnom jedinicom $i$$i$: $\frac{a + bi - 2i}{i} = \frac{(a + bi - 2i) \cdot i}{i^2} = \frac{ai + bi^2 - 2i^2}{-1} = -ai + 2 - b + 2 = (b+2) - ai$$\frac{a + bi - 2i}{i} = \frac{(a + bi - 2i) \cdot i}{i^2} = \frac{ai + bi^2 - 2i^2}{-1} = -ai + 2 - b + 2 = (b+2) - ai$.
Cijela lijeva strana se tada svodi na oblik: $(b - 2 - ai) + b - ai = (2b - 2) - 2ai$$(b - 2 - ai) + b - ai = (2b - 2) - 2ai$.
Kako bi dva kompleksna broja bila jednaka, izjednacavamo realne i imaginarne dijelove lijeve i desne strane ($4 - 2i$$4 - 2i$): $2b - 2 = 4$$2b - 2 = 4$ te $-2a = -2$$-2a = -2$.
Rješavanjem ovog jednostavnog sustava linearnih jednadžbi dobivamo trazene vrijednosti: $b = 3$$b = 3$ i $a = 1$$a = 1$.
Odgovor: $a=1, b=3$$a=1, b=3$

Zadatak rješavamo pojednostavljivanjem prve logaritamske jednadžbe primjenom svojstva zbrajanja logaritama: $\log(x^2 - y^2) = \log(10 \cdot 4) = \log 40$$\log(x^2 - y^2) = \log(10 \cdot 4) = \log 40$.
Antilogaritmiranjem dobivamo algebarsku jednadžbu: $x^2 - y^2 = 40$$x^2 - y^2 = 40$.
Lijevu stranu faktoriziramo formulom za razliku kvadrata: $(x-y)(x+y) = 40$$(x-y)(x+y) = 40$.
Iz druge jednadžbe zadanog sustava uvrstamo vrijednost $x + y = 8$$x + y = 8$: $(x-y) \cdot 8 = 40 \Rightarrow x - y = 5$$(x-y) \cdot 8 = 40 \Rightarrow x - y = 5$.
Zbrajanjem jednadžbi $x + y = 8$$x + y = 8$ i $x - y = 5$$x - y = 5$ dobivamo $2x = 13 \Rightarrow x = 6.5$$2x = 13 \Rightarrow x = 6.5$, a oduzimanjem $2y = 3 \Rightarrow y = 1.5$$2y = 3 \Rightarrow y = 1.5$.
Odgovor: $(6.5, 1.5)$$(6.5, 1.5)$

Mjera pripadnoga središnjega kuta uvijek je dvostruko veca od mjere obodnog kuta nad istom tetivom, pa on iznosi $2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$$2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Trazenu povrsinu kruznog odsječcka dobit cemo oduzimanjem povrsine pripadnoga jednakokračnoga trokuta od ukupne povrsine kruznog isječka.
Povrsina kruznog isječka iznosi $P_i = \frac{15^2\pi \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{225\pi}{3} = 75\pi$$P_i = \frac{15^2\pi \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{225\pi}{3} = 75\pi$.
Povrsinu trokuta računamo trigonometrijskom formulom: $P_t = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 \cdot \sin 120^{\circ} = \frac{225\sqrt{3}}{4}$$P_t = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 \cdot \sin 120^{\circ} = \frac{225\sqrt{3}}{4}$.
Konačan izracun trazene povrsine je razlika: $75\pi - \frac{225\sqrt{3}}{4} \approx 138.19$$75\pi - \frac{225\sqrt{3}}{4} \approx 138.19$ cm$^2$$^2$.
Odgovor: $138.19$$138.19$

Za zrcaljenje točke prvo moramo odrediti jednadžbu pravca koji prolazi zadanom točkom $C$$C$ i okomit je na zadani pravac.
Njegov koeficijent smjera je suprotan i recipročan zadanom ($k = \frac{1}{2}$$k = \frac{1}{2}$), pa iznosi $k_1 = -2$$k_1 = -2$.
Jednadžba okomitog pravca zapisana kroz točku iznosi $y - 9 = -2(x - 2) \Rightarrow y = -2x + 13$$y - 9 = -2(x - 2) \Rightarrow y = -2x + 13$.
Tražimo sjecište obaju pravaca rješavanjem sustava: $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = -2x + 13 \Rightarrow \frac{5}{2}x = \frac{25}{2} \Rightarrow x = 5$$\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = -2x + 13 \Rightarrow \frac{5}{2}x = \frac{25}{2} \Rightarrow x = 5$.
Uvrstavanjem dobivamo $y = 3$$y = 3$, pa se oni sijeku u točki $S(5, 3)$$S(5, 3)$ koja predstavlja polovište duzine $\overline{CC'}$$\overline{CC'}$.
Koristimo formule za polovište duzine: $5 = \frac{2 + x_{C'}}{2} \Rightarrow x_{C'} = 8$$5 = \frac{2 + x_{C'}}{2} \Rightarrow x_{C'} = 8$ i $3 = \frac{9 + y_{C'}}{2} \Rightarrow y_{C'} = -3$$3 = \frac{9 + y_{C'}}{2} \Rightarrow y_{C'} = -3$.
Odgovor: $(8, -3)$$(8, -3)$

Na desnoj strani jednadžbe primjenjujemo adicijski poučak za funkciju sinus: $\sin(\frac{5\pi}{6} - x) = \sin(\frac{5\pi}{6}) \cos x - \cos(\frac{5\pi}{6}) \sin x$$\sin(\frac{5\pi}{6} - x) = \sin(\frac{5\pi}{6}) \cos x - \cos(\frac{5\pi}{6}) \sin x$.
Uvrstavanjem poznatih trigonometrijskih vrijednosti izraz se svodi na: $4 \cos x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$4 \cos x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$.
Grupiramo slične članove: $\frac{7}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$\frac{7}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$.
Dijeljenjem s $\cos x$$\cos x$ (uz uvjet $\cos x \neq 0$$\cos x \neq 0$) dolazimo do: $\sqrt{3} \tan x = 7 \Rightarrow \tan x = \frac{7}{\sqrt{3}}$$\sqrt{3} \tan x = 7 \Rightarrow \tan x = \frac{7}{\sqrt{3}}$.
Rješavanjem konačne trigonometrijske jednadžbe dobivamo $x = \arctan(\frac{7}{\sqrt{3}}) + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$x = \arctan(\frac{7}{\sqrt{3}}) + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Odgovor: $x = \arctan(\frac{7}{\sqrt{3}}) + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$x = \arctan(\frac{7}{\sqrt{3}}) + k\pi, k \in \mathbb{Z}$