Odredite koordinate minimuma grafa funkcije $f(x)=x^{4}-7x^{3}+10x^{2}$$f(x)=x^{4}-7x^{3}+10x^{2}$.

Kako bismo pronašli ekstreme zadane funkcije, određujemo njezinu prvu derivaciju i izjednačavamo je s nulom: $f'(x) = 4x^3 - 21x^2 + 20x = 0$$f'(x) = 4x^3 - 21x^2 + 20x = 0$.
Faktoriziramo dobivenu jednadžbu izlučivanjem zajedničkog faktora: $x(4x^2 - 21x + 20) = x \cdot 4(x - \frac{5}{4})(x-4) = 0$$x(4x^2 - 21x + 20) = x \cdot 4(x - \frac{5}{4})(x-4) = 0$.
Rješavanjem pronalazimo tri kritične točke smještene u apscisama $x_1 = 0, x_2 = \frac{5}{4}, x_3 = 4$$x_1 = 0, x_2 = \frac{5}{4}, x_3 = 4$.
Ispitujemo predznak derivacije na svakom od četiriju intervala koje te točke omeđuju:
za $x < 0$$x < 0$ je $f'(x) < 0$$f'(x) < 0$ (npr. $f'(-1) = -45$$f'(-1) = -45$), za $0 < x < \frac{5}{4}$$0 < x < \frac{5}{4}$ je $f'(x) > 0$$f'(x) > 0$ (npr. $f'(1) = 3$$f'(1) = 3$), za $\frac{5}{4} < x < 4$$\frac{5}{4} < x < 4$ je $f'(x) < 0$$f'(x) < 0$ (npr. $f'(2) = -12$$f'(2) = -12$), a za $x > 4$$x > 4$ je $f'(x) > 0$$f'(x) > 0$ (npr. $f'(5) = 75$$f'(5) = 75$).
Derivacija mijenja predznak iz negativnog u pozitivan upravo u točkama $x_1 = 0$$x_1 = 0$ i $x_3 = 4$$x_3 = 4$, pa su to lokalni minimumi (dok je $x_2 = \frac{5}{4}$$x_2 = \frac{5}{4}$, gdje predznak prelazi iz pozitivnog u negativan, lokalni maksimum).
Računamo pripadne vrijednosti funkcije: $f(0) = 0$$f(0) = 0$ te $f(4) = -32$$f(4) = -32$.
Budući da je $-32 < 0$$-32 < 0$, zaključujemo da funkcija upravo u točki $T(4, -32)$$T(4, -32)$ postiže svoj globalni minimum.
Odgovor: $(4, -32)$$(4, -32)$