Riješite zadatke.

Kako bismo pojednostavili logaritamski izraz, bazu argumenta ($a$$a$) zapisujemo pomoću baze samog logaritma ($\sqrt{a}$$\sqrt{a}$) koristeći jednakost $a = (\sqrt{a})^2$$a = (\sqrt{a})^2$.
Uvrstamo tu supstituciju u pocetni izraz: $\log_{\sqrt{a}} (a^x) = \log_{\sqrt{a}} ((\sqrt{a})^{2x})$$\log_{\sqrt{a}} (a^x) = \log_{\sqrt{a}} ((\sqrt{a})^{2x})$.
Iz osnovne definicije logaritma izravno slijedi da je rješenje jednako eksponentu $2x$$2x$.
Odgovor: $2x$$2x$

Za rješavanje ove eksponencijalne jednadžbe, koristimo svojstvo množenja potencija s jednakim eksponentima: $3^x \cdot 5^x = (3 \cdot 5)^x = 15^x$$3^x \cdot 5^x = (3 \cdot 5)^x = 15^x$.
Zadana jednadžba tada poprima oblik: $15^x \cdot 25 = 5625$$15^x \cdot 25 = 5625$.
Dijeljenjem obiju strana s $25$$25$ dobivamo: $15^x = 225$$15^x = 225$.
S obzirom na to da vrijedi jednakost $15^2 = 225$$15^2 = 225$, slijedi konacno rješenje $x = 2$$x = 2$.
Odgovor: 2

Prije samog rješavanja postavljamo nužan uvjet nenegativnosti izraza pod parnim korijenom: $\frac{x-45}{x} \geq 0$$\frac{x-45}{x} \geq 0$.
Obje strane zadane jednadžbe kvadriramo kako bismo se oslobodili korijena: $\frac{x-45}{x} = 16$$\frac{x-45}{x} = 16$.
Množenjem cijele jednadžbe s nazivnikom $x$$x$ dobivamo linearnu jednadžbu: $x - 45 = 16x$$x - 45 = 16x$.
Prebacivanjem nepoznanica na istu stranu slijedi: $-15x = 45 \Rightarrow x = -3$$-15x = 45 \Rightarrow x = -3$.
Na kraju provjeravamo uvjet: $\frac{-3-45}{-3} = \frac{-48}{-3} = 16 \geq 0$$\frac{-3-45}{-3} = \frac{-48}{-3} = 16 \geq 0$, koji je zadovoljen.
Odgovor: -3