Neka je $a\ge 2$$a\ge 2$. Za koji je od navedenih argumenata $x$$x$ vrijednost funkcije $f(x)=x^{2}+2x+1$$f(x)=x^{2}+2x+1$ najmanja?

S obzirom na to da je $f(x) = (x+1)^2$$f(x) = (x+1)^2$ konveksna parabola s tjemenom (i minimumom) u točki $x = -1$$x = -1$.
Ova funkcija je strogo padajuća za $x < -1$$x < -1$ te strogo rastuća za $x > -1$$x > -1$.
Uzevši u obzir uvjet $a \geq 2$$a \geq 2$, vrijedi redoslijed: $-3a < -2a < -1 < \frac{a}{3} < \frac{a}{2}$$-3a < -2a < -1 < \frac{a}{3} < \frac{a}{2}$.
Traženu najmanju vrijednost na cijelom promatranom skupu funkcija postiže u točki najbližoj tjemenu, zbog čega usporedujemo vrijednosti za $x = -2a$$x = -2a$ i $x = \frac{a}{3}$$x = \frac{a}{3}$.
Računamo razliku: $f(-2a) - f(\frac{a}{3}) = (2a-1)^2 - (\frac{a}{3}+1)^2 = \frac{7a(5a-6)}{9}$$f(-2a) - f(\frac{a}{3}) = (2a-1)^2 - (\frac{a}{3}+1)^2 = \frac{7a(5a-6)}{9}$.
Za svaki $a \geq 2$$a \geq 2$ vrijedi $5a-6 \geq 4 > 0$$5a-6 \geq 4 > 0$, pa je taj izraz pozitivan, odnosno $f(-2a) > f(\frac{a}{3})$$f(-2a) > f(\frac{a}{3})$.
Stoga funkcija postiže svoju najmanju vrijednost za $x = \frac{a}{3}$$x = \frac{a}{3}$.
Odgovor: D