Zadaci s geometrijom i udaljenostima.

Površinu lika unutar kvadrata dobivamo oduzimanjem površina četiriju rubnih trokutova:
$P = 10 \cdot 10 - \frac{1}{2}(7 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 4)$$P = 10 \cdot 10 - \frac{1}{2}(7 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 4)$.
$P = 100 - \frac{1}{2}(21 + 15 + 30 + 28) = 100 - 47 = 53$$P = 100 - \frac{1}{2}(21 + 15 + 30 + 28) = 100 - 47 = 53$ cm$^2$$^2$.
Odgovor: 53 cm$^2$$^2$

Promatramo točku $T(x, -3)$$T(x, -3)$ koja se nalazi u trećem kvadrantu i točku $P(0, 7)$$P(0, 7)$ na osi ordinata. Udaljenost točke od ishodišta $O(0, 0)$$O(0, 0)$ računamo formulom $d = \sqrt{x^2 + y^2}$$d = \sqrt{x^2 + y^2}$. Udaljenost točke $T$$T$ od ishodišta je $d_T = \sqrt{x^2 + (-3)^2} = \sqrt{x^2 + 9}$$d_T = \sqrt{x^2 + (-3)^2} = \sqrt{x^2 + 9}$ , dok je udaljenost točke $P$$P$ od ishodišta $d_P = 7$$d_P = 7$. Prema uvjetu zadatka, te su udaljenosti jednake, pa postavljamo jednadžbu $\sqrt{x^2 + 9} = 7$$\sqrt{x^2 + 9} = 7$. Kvadriranjem jednadžbe dobivamo $x^2 + 9 = 49$$x^2 + 9 = 49$ , odakle je $x^2 = 40$$x^2 = 40$. Budući da se točka $T$$T$ nalazi u trećem kvadrantu, njezina apscisa mora biti negativna, pa odbacujemo pozitivno rješenje. Konačno rješenje je $x = -\sqrt{40}$$x = -\sqrt{40}$ , što se može zapisati kao $x = -2\sqrt{10}$$x = -2\sqrt{10}$.
Odgovor: $-2\sqrt{10}$$-2\sqrt{10}$

Problem rješavamo pomoću pravokutnog trokuta i algebarskih identiteta:
1. Površina: $\frac{ac}{2} = 4200 \Rightarrow 2ac = 16800$$\frac{ac}{2} = 4200 \Rightarrow 2ac = 16800$.
2. Zbroj kateta: $a + c = 190$$a + c = 190$.
Traženi put je hipotenuza $b = \sqrt{a^2 + c^2}$$b = \sqrt{a^2 + c^2}$.
Koristimo dopunu do kvadrata binoma: $a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac$$a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac$.
$b = \sqrt{190^2 - 16800} = \sqrt{36100 - 16800} = \sqrt{19300} = 10\sqrt{193} \approx 138.92$$b = \sqrt{190^2 - 16800} = \sqrt{36100 - 16800} = \sqrt{19300} = 10\sqrt{193} \approx 138.92$ m.
Odgovor: $10\sqrt{193} \approx 138.92$$10\sqrt{193} \approx 138.92$ m